Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2021 · Julio

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

a) (1 punto) Calcula razonadamente la matriz inversa de

A

.

b) (1,5 puntos) Calcula razonadamente la matriz

X

de la ecuación matricial

AX + 3I = A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}}

\boxed{X = I - 3A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ -3 & 11 & -3 \\ 3 & -9 & -1 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) primero miramos si

A

tiene inversa: la tiene si y solo si

|A| \neq 0

. Después usamos la fórmula de los adjuntos,

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t,

calculando los nueve adjuntos con cuidado con los signos.

En b) despejamos

X

como en una ecuación normal, pero respetando el orden del producto: pasamos

3I

restando y multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda, porque

X

está a la derecha de

A

. Como

A^{-1}A = I

, el resultado se simplifica a

X = I - 3A^{-1}

, que se calcula enseguida con la inversa de a).

Desarrollo

a) Calculamos el determinante por la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3\cdot 0\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 0 + 2\cdot 1\cdot 1 - 2\cdot 0\cdot 0 - 3\cdot 1\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot 1 = 2 - 3 - 1 = -2 \neq 0

Como

|A| \neq 0

A

es regular y tiene inversa.

Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1

A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -3

A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1

La matriz adjunta y su traspuesta son

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -3 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}

y, dividiendo entre

|A| = -2

A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A \cdot A^{-1}

, fila por columna:

\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3+1-2 & -3-3+6 & -3+1+2 \\ 1+0-1 & -1+0+3 & -1+0+1 \\ 0+1-1 & 0-3+3 & 0+1+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = I

b) Despejamos

X

AX + 3I = A \;\Longrightarrow\; AX = A - 3I

Como

A

tiene inversa, multiplicamos por la izquierda por

A^{-1}

A^{-1}AX = A^{-1}(A - 3I) \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}A - 3A^{-1}I = I - 3A^{-1}

Ahora solo hay que operar:

3A^{-1} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{9}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & \frac{9}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}

X = I - 3A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 1 + \frac{9}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{9}{2} & 1 - \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ -3 & 11 & -3 \\ 3 & -9 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}

, y

AX = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ -3 & 11 & -3 \\ 3 & -9 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & -6 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = A - 3I

y se cumple la ecuación.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo más caro en b) es multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha: como $X$ va a la derecha de $A$ , la inversa tiene que ir a la izquierda en los dos miembros. Además, $A^{-1}A = I$ deja la expresión tan sencilla como $X = I - 3A^{-1}$ : no hace falta multiplicar matrices.

En a), no olvides trasponer la adjunta ni el signo $(-1)^{i+j}$ de cada adjunto. Comprobar que $A\cdot A^{-1} = I$ cuesta un minuto y te asegura los dos apartados.