Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La función es continua por ser la suma de dos funciones continuas, la exponencial y una polinómica de primer grado.

Para analizar su monotonía estudiaremos el signo de la derivada:

$f'(x) = e^{x - 1} - 1 = 0$; por tanto, $e^{x - 1} = 1$, de donde $x - 1 = 0$ y, así, $x = 1$ es un punto crítico.

Hacemos la tabla de comportamiento:

La función tiene un mínimo relativo (y absoluto) en el punto $(1, -1)$, es monótona decreciente en el intervalo $(-\infty, 1)$ y monótona creciente en el intervalo $(1, +\infty)$.

b) Para demostrar si la función tiene o no raíces aplicaremos el teorema de Bolzano. En este caso la función es continua en todos los reales; por tanto, lo es en cualquier intervalo cerrado, concretamente en el intervalo $[-1, 3]$.

En los dos extremos del intervalo la función es positiva:$$f(-1) = e^{-2} > 0 \quad\text{y}\quad f(3) = e^{2} - 4 > 0$$Por otro lado, sabemos que $f(1) < 0$ y que en $x = 1$ la función tiene un mínimo absoluto. Así, por el teorema de Bolzano, podemos afirmar que:

• existe una raíz en el intervalo abierto $(-1, 1)$. Esta raíz es única, ya que la función es monótona decreciente en este intervalo.
• existe otra raíz en el intervalo $(1, 3)$, que también es única por ser monótona creciente en este intervalo.

Así, no puede existir ninguna otra raíz de esta función en el intervalo dado.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por justificar la continuidad.
• 0,25 p. por el cálculo de la derivada.
• 0,25 p. por encontrar la abscisa del punto crítico.
• 0,25 p. por los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
• 0,25 p. por justificar el mínimo relativo.

b)

• 0,25 p. por mencionar las hipótesis del teorema de Bolzano.
• 0,5 p. por justificar la existencia de dos raíces.
• 0,5 p. por la unicidad en cada intervalo a partir de la monotonía.