Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Calculamos $A^2$:$$A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$El determinante de la matriz $A^2$ es $|A^2| = 1 \neq 0$; por tanto, es una matriz invertible.

Multiplicamos la ecuación matricial por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda, y así nos queda:$$A^2\cdot X = A - 3\cdot I \;\rightarrow\; X = (A^2)^{-1}(A - 3\cdot I)$$Calculamos la matriz inversa de $A^2$:$$(A^2)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = A$$Finalmente:$$X = A(A - 3\cdot I)$$$$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - 3\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right) =$$$$= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$b) Sumamos $I$ a los dos lados de la igualdad que nos dan:$$M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0 \;\rightarrow\; M^3 - 3M^2 + 3M = I$$Sacamos $M$ factor común por la izquierda:$$M\cdot(M^2 - 3M + 3I) = I \qquad (*)$$Hacemos el determinante a ambos lados de la igualdad y tenemos:$$\det\big(M\cdot(M^2 - 3M + 3I)\big) = \det I = 1 \;\rightarrow\; \det M\cdot\det(M^2 - 3M + 3I) = 1$$De donde podemos afirmar que $\det M \neq 0$, ya que, si se anulara, la igualdad anterior no se satisfaría. Así pues, $M$ es invertible y podemos expresar la inversa de la forma siguiente:$$M^{-1} = M^2 - 3M + 3I$$De la expresión $(*)$ se puede deducir directamente que la matriz $M$ es invertible y que la expresión de la inversa, sin tener que justificar que el determinante es diferente de 0.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por calcular $A^2$.
• 0,25 p. por aislar $X$.
• 0,5 p. por la inversa de $A^2$.
• 0,25 p. por el resultado final de $X$.

b)

• 0,5 p. por operar correctamente con la igualdad dada.
• 0,5 p. por justificar que $M$ es invertible.
• 0,25 p. por encontrar la expresión la matriz inversa pedida.