Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La recta tangente es horizontal en los puntos donde la derivada se anula; entonces:$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \;\rightarrow\; \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \;\rightarrow\; 1 - \ln x = 0 \;\rightarrow\; \ln x = 1 \;\rightarrow\; x = e$$Así, el único punto con recta tangente horizontal es $(x, y) = \left(e, \dfrac{1}{e}\right)$.

Para determinar si es un extremo relativo podemos utilizar el criterio de la segunda derivada:$$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x}x^2 - 2x(1 - \ln x)}{x^4} = \frac{-x - 2x(1 - \ln x)}{x^4} = \frac{-3 + 2\ln x}{x^3}$$$f''(e) = \dfrac{-3 + 2\ln x}{x^3} = \dfrac{-1}{e^3} < 0 \;\rightarrow$ indica que corresponde a un máximo relativo.

b) En relación con las asíntotas, como la función solo está definida para $x > 0$, hay que mirar la asíntota solo para $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty}\ \text{ind.}$$Aplicando la regla de L'Hôpital, resolveremos esta indeterminación:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$Por tanto, el eje de abscisas, $y = 0$, es una asíntota horizontal de esta función.

c) El área pedida corresponde a la integral definida:$$A = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \int_1^e \frac{1}{x}\ln x\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1}{2}\,u^2$$La representación gráfica es:

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el planteamiento, donde se diga que la pendiente de la recta horizontal debe ser cero.
• 0,25 p. por la derivada.
• 0,25 p. por el punto donde la recta tangente es horizontal.
• 0,25 p. por justificar que es un máximo relativo.

b)

• 0,25 p. por el planteamiento, donde se explique que solo hay que estudiar el límite cuando $x \to +\infty$.
• 0,25 p. por la asíntota horizontal.

c)

• 0,25 p. por la integral definida que corresponde al área pedida.
• 0,25 p. por la primitiva.
• 0,25 p. por la regla de Barrow y el resultado del área.
• 0,25 p. por la gráfica.

En caso de que respondan que el área es infinita —porque no se menciona el eje de abscisas en el enunciado—, se puntuará con 0,5 puntos la gráfica y con 0,5 decir razonadamente que es infinita.