Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La ecuación de la recta perpendicular al plano $x = y$ que pasa por el punto $(-1, 3, 1)$ tiene como vector director $(1, -1, 0)$; por tanto, la ecuación es:$$(x, y, z) = (-1, 3, 1) + t(1, -1, 0) = (-1 + t, 3 - t, 1)$$Hacemos la intersección de esta recta con el plano y encontraremos $M$, el punto medio del segmento $PP'$:$$x = y \;\rightarrow\; -1 + t = 3 - t \;\rightarrow\; t = 2;\qquad M = (1, 1, 1)$$Finalmente, $M = \dfrac{P + P'}{2} \;\rightarrow\; P' = 2M - P = (2 + 1, 2 - 3, 2 - 1) = (3, -1, 1)$

b) El vector normal al plano que nos piden es perpendicular a la recta $r$ y también debe ser perpendicular al plano $\pi$. Lo calculamos haciendo el producto vectorial:$$\begin{vmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \vec e_2 - 2\vec e_3 - 3\vec e_3 + \vec e_1 \;\rightarrow\; (1, 1, -5)$$La ecuación del plano es $x + y - 5z + D = 0$ y, si imponemos que debe pasar por el punto $(1, 0, 2)$, determinamos el término independiente $D$:$$1 - 10 + D = 0 \;\rightarrow\; D = 9$$Finalmente, la ecuación del plano pedido es $x + y - 5z + 9 = 0$.

Pautas de corrección

a)

• 0,5 p. por el planteamiento, donde se explique cómo se calcula el punto simétrico.
• 0,25 p. por la recta perpendicular.
• 0,25 p. por el punto medio.
• 0,25 p. por la solución.

b)

• 0,5 p. por el planteamiento.
• 0,25 p. por el vector normal al plano.
• 0,5 p. por la ecuación cartesiana del plano.

En caso de resolver cualquiera de los apartados por estrategias diferentes de las dadas en estas pautas, también se considerará correcto.