Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Escribimos el sistema en forma matricial:$$\left(\begin{array}{ccc|c} p & 1 & 1 & 2 \\ 2 & p & p^2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$El determinante de la matriz de coeficientes, $A$, es:$$\det A = \begin{vmatrix} p & 1 & 1 \\ 2 & p & p^2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -p^3 + 3p^2 - 2p = -p(p - 1)(p - 2)$$Los valores de $p$ que hacen que el determinante sea cero son: $p = 0$, $p = 1$ y $p = 2$.

Entonces:

• Si $p \neq 0, 1, 2 \;\rightarrow\; \text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 \;\rightarrow$ Sistema compatible determinado.
• Si $p = 0$, el sistema en forma matricial es:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$$\text{rango}(A) = 2;\ \text{rango}(A^*) = 3 \;\rightarrow$ Sistema incompatible.

• Si $p = 1$, el sistema en forma matricial es:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$$\text{rango}(A) = 2;\ \text{rango}(A^*) = 3 \;\rightarrow$ Sistema incompatible.

• Si $p = 2$, el sistema en forma matricial es:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < \text{núm. incógnitas} = 3 \;\rightarrow$ Sistema compatible indeterminado.

b) Para $p = 2$ el sistema es compatible indeterminado; dos de las ecuaciones son coincidentes. Hay que resolver el sistema:$$\begin{cases} 2x + y + z = 2 \\ 2x + 2y + 4z = 1 \end{cases} \;\rightarrow\; \begin{cases} 2x + y = 2 - z \\ 2x + 2y = 1 - 4z \end{cases}$$Tomamos $z = t$ como parámetro y tenemos $x = \dfrac{3}{2} + t$, $y = -3t - 1$, $z = t$ para todo $t \in \mathbb{R}$.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por la presentación matricial del sistema.
• 0,25 p. por llegar a los valores críticos para la discusión.
• 1 p. por la discusión de los cuatro casos (0,25 puntos por cada caso).

b)

• Si han hecho bien el caso $p = 2$ en el apartado a), 0,5 p. por el cálculo de cada variable en función de un parámetro libre.
• Si no utilizan el apartado a), 0,25 p. por observar que es un sistema compatible indeterminado y 0,75 p. por la solución.