Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La ecuación de la recta tangente en el punto de la parábola $(a, f(a)) = (a, 4 - a^2)$ es:$$y - f(a) = f'(a)\cdot(x - a)$$Calculamos la derivada y la evaluamos en $x = a$:$$f(x) = 4 - x^2 \;\rightarrow\; f'(x) = -2x \;\rightarrow\; f'(a) = -2a.$$La recta tangente a la parábola es:$$y - (4 - a^2) = -2a\cdot(x - a) \;\rightarrow\; y = -2ax + 2a^2 + 4 - a^2 \;\rightarrow\; y = -2ax + a^2 + 4$$

Calculamos el punto de corte con el eje $OX$ $(y = 0)$:$$0 = -2ax + a^2 + 4;\quad x = \frac{a^2 + 4}{2a}$$Tenemos el punto $\left(\dfrac{a^2 + 4}{2a}, 0\right)$.

El punto de corte con el eje $OY$ $(x = 0)$ es:$$y = a^2 + 4$$Y tenemos el punto $(0, a^2 + 4)$.

b) El triángulo tiene vértices en los puntos $(0, 0)$, $\left(\dfrac{a^2 + 4}{2a}, 0\right)$ y $(0, a^2 + 4)$; por tanto, es un triángulo rectángulo de base $\dfrac{a^2 + 4}{2a}$ y altura $a^2 + 4$. Su área es:$$S(a) = \frac{1}{2}\left(\frac{a^2 + 4}{2a}\right)(a^2 + 4) = \frac{(a^2 + 4)^2}{4a}$$Derivamos e igualamos a cero:$$S'(a) = \frac{(a^2 + 4)\cdot(3a^2 - 4)}{4a^2},\qquad S'(a) = 0 \;\rightarrow\; \begin{cases} a = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\[2mm] a = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{cases}$$Rechazamos la solución $a = -\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ya que $a$ debe ser positivo; por tanto, el valor buscado es $a = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$, que será un mínimo ya que:$$S'(a) = \begin{cases} < 0 \ \text{ si }\ 0 < a < \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \;\rightarrow\; S \text{ es decreciente para } a < \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\[3mm] \geq 0 \ \text{ si }\ a \geq \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \;\rightarrow\; S \text{ es creciente para } a > \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{cases}$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el planteamiento, donde se indique que la recta tangente tiene pendiente $f'(a)$.
• 0,5 p. por la expresión de la recta tangente.
• 0,25 p. por el punto de corte con el eje de abscisas.
• 0,25 p. por el punto de corte con el eje de ordenadas.

Aunque hay que dar las dos coordenadas de los puntos de corte, en caso de no dar la coordenada 0 no se penaliza.

b)

• 0,25 p. por la función área.
• 0,5 p. por la derivada primera.
• 0,25 p. por el valor de $a$ donde se alcanza el mínimo.
• 0,25 p. por comprobar que es mínimo relativo.

Se considera correcta si se da la solución sin racionalizar.