Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Para hallar los puntos críticos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:$$f'(x) = \frac{3x^2(x-2) - x^3}{(x-2)^2} = \frac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2} = 0 \rightarrow x = 0 \ \text{ o bien } \ x = 3$$Tenemos dos puntos críticos, $x = 0$ y $x = 3$. Los clasificamos a partir del signo de la primera derivada:$$f'(x) = \frac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2} = \begin{cases} \geq 0 & \text{si } x \geq 3 \\ < 0 & \text{si } x < 3 \end{cases}$$Así, para $x < 3$ la función es decreciente y para $x > 3$ la función es creciente. Hay que tener en cuenta que para $x = 2$ la función no está definida. Así, la función es decreciente en $(-\infty, 2) \cup (2, 3)$ y es creciente en $(3, +\infty)$. Si se considera monotonía estricta, habría que excluir también $x = 0$.

Como en un entorno de $x = 0$ la función es decreciente y es un punto crítico, se trata de un punto de inflexión.

En cambio, para $x < 3$ la función es decreciente y para $x > 3$ la función es creciente; por tanto, en $x = 3$ tiene un mínimo relativo.

b)

La función es continua en el intervalo $(-2, 1)$, ya que es un cociente de polinomios, que son funciones continuas, y el denominador no se anula. Evaluamos la función en los extremos del intervalo:$$f(-2) = \frac{-8}{-4} = 2 > 0 \quad \text{y} \quad f(1) = \frac{1}{-1} = -1 < 0$$Por el teorema de Bolzano podemos afirmar que $f$ tiene como mínimo un cero en el intervalo $(-2, 1)$. Como la función es estrictamente monótona en este intervalo, solo tiene un cero dentro de este intervalo. De hecho, es fácil ver que $f(0) = 0$.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por la primera derivada.
• 0,25 p. por los puntos críticos.
• 0,5 p. por los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
• 0,25 p. por justificar el punto de inflexión.
• 0,25 p. por justificar el mínimo relativo.

b)

• 0,25 p. por comprobar las hipótesis del teorema de Bolzano.
• 0,25 p. por evaluar la función en los extremos del intervalo.
• 0,25 p. por afirmar que la función tiene un cero.
• 0,25 p. por justificar que el cero es único.