Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Calculamos el determinante de la matriz $A$:$$|A| = \begin{vmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{vmatrix} = a(a^2 - 3a + 2) = a(a-1)(a-2)$$Entonces, para todo $a \neq 0, 1, 2$ tenemos que $|A| \neq 0$ y la matriz es invertible.

b)

Para $a = 3$ la matriz es $A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}$

El determinante de la matriz $A$ es $|A| = 6 \neq 0$; por tanto, $A$ es invertible. Calculamos la inversa:$$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ \dfrac{13}{3} & -3 & -1 \\ -\dfrac{14}{3} & \dfrac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}$$Así, podemos resolver la ecuación dada multiplicando por la izquierda cada lado de la ecuación por la matriz inversa de $A$:$$A\cdot X = B - 3I \;\rightarrow\; A^{-1}\cdot A\cdot X = A^{-1}\cdot(B - 3I) \;\rightarrow\; X = A^{-1}\cdot(B - 3I)$$$$B - 3I = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Finalmente obtenemos $X$:$$X = A^{-1}\cdot(B - 3I) = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ \dfrac{13}{3} & -3 & -1 \\ -\dfrac{14}{3} & \dfrac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -5 & -5 \\ 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}$$Pautas de corrección:

a)

• 0,5 p. por el determinante de $A$.
• 0,5 p. por los valores que hacen que la matriz sea invertible.

b)

• 0,25 p. por justificar que $A$ es invertible.
• 0,5 p. por resolver la ecuación matricial para hallar $X$.
• 0,5 p. por el cálculo de la matriz inversa de $A$.
• 0,25 p. por el cálculo final de la matriz $X$.