Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Cataluña · 2021 · Septiembre

Enunciado

a) (1,25 puntos) En la figura se muestra la gráfica de la función

f(x)

. Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de

f(x)

. Explique el razonamiento que ha seguido.

Gráfica de y = f(x): corta el eje de abscisas en x = −0,5, crece hasta un máximo relativo en (0, 1), decrece hasta tocar el eje en un mínimo relativo en (1, 0) y vuelve a crecer; en el eje de abscisas están marcados −0,5; 0; 0,5; 1 y 1,5

b) (1,25 puntos) Calcule los valores de

a

b

para que la función

g(x) = ax^3 + bx^2 + 1

tenga un punto de inflexión en

x = \dfrac{1}{2}

y su derivada en ese punto sea

\dfrac{-3}{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

f'(x)

se anula en

x = 0

y en

x = 1

, es positiva para

x < 0

x > 1

, negativa en

(0, 1)

y tiene su mínimo cerca de

x = \tfrac{1}{2}

(el punto de inflexión de

f

\boxed{\;a = 2,\quad b = -3\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Gráfica de f(x), en trazo continuo verde, y de su derivada f′(x), en trazo discontinuo azul: una parábola que pasa por (0, 0) y (1, 0), es negativa entre ambos puntos con su mínimo cerca de x = 0,5, y positiva fuera de ese intervalo

La función derivada pasa por los puntos $(0, 0)$ y $(1, 0)$ porque son los puntos donde $f(x)$ presenta los extremos relativos.
$f(x)$ es creciente cuando $x < 0$ y cuando $x > 1$ ; por tanto, la función derivada es positiva en estas dos semirrectas.
$f(x)$ es decreciente cuando $0 < x < 1$ ; por tanto, en este intervalo la derivada es negativa.
La función $f(x)$ tiene un punto de inflexión en un punto próximo a $x = \dfrac{1}{2}$ que coincidirá con un mínimo en la función derivada.

b)

Imponemos que

g'\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}

y que

g''\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0

$g(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow g'(x) = 3ax^2 + 2bx \rightarrow 3a\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 2b\,\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2} \rightarrow 3a + 4b = -6$
$g''(x) = 6ax + 2b \rightarrow 6a\,\dfrac{1}{2} + 2b = 0 \rightarrow 3a + 2b = 0$

De estas dos ecuaciones

\begin{cases} 3a + 4b = -6 \\ 3a + 2b = 0 \end{cases}

se deduce que

a = 2

b = -3

Pautas de corrección:

a)

0,5 p. por la gráfica de la función derivada.
0,25 p. por observar que en los extremos relativos la derivada se anula.
0,25 p. por observar el signo de la derivada según el crecimiento y el decrecimiento.
0,25 p. por observar que el mínimo de la función derivada coincide con el punto de inflexión.