Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Cuatro puntos son coplanarios si pertenecen al mismo plano. Consideramos los tres vectores que tienen origen en uno de los puntos, por ejemplo, el punto $B$, y extremo en cada uno de los otros tres puntos:$$\overrightarrow{BA} = (3, 1, 0),\quad \overrightarrow{BC} = (4, 1, 1) \quad \text{y} \quad \overrightarrow{BD} = (1, 1, t - 1)$$Para que los cuatro puntos sean coplanarios, es necesario que estos tres vectores sean linealmente dependientes, es decir:$$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & t - 1 \end{vmatrix} = 3t - 3 + 1 - (3 + 4t - 4) = -t - 1 = 0 \rightarrow t = -1$$Así, para $t = -1$ los cuatro puntos dados son coplanarios.

b)

Para $t \neq -1$, los cuatro puntos no son coplanarios; por tanto, formarán un tetraedro.

Para calcular su volumen usamos la fórmula $V = \dfrac{1}{6}\left|\det\left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}\right)\right|$:

Así,$$V = \frac{1}{6}\left|\,\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & t - 1 \end{vmatrix}\,\right| = \frac{|-t-1|}{6}$$Dado que queremos hallar $t$ tal que $V = 5\ u^3$, tenemos que:$$V = \frac{|-t-1|}{6} = 5 \rightarrow |-t-1| = 30 \rightarrow \begin{cases} -t - 1 = 30 \\ -t - 1 = -30 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} t = -31 \\ t = 29 \end{cases}$$De manera que tenemos dos soluciones: $t = -31$ y $t = 29$.

Pautas de corrección:

a)

• 0,5 p. por el planteamiento, donde se indique la condición para que cuatro puntos sean coplanarios.
• 0,5 p. por la solución.

b)

• 0,5 p. por el planteamiento, donde se asocie el volumen a la fórmula dada.
• 0,5 p. por el volumen en función de $t$.
• 0,5 p. por las dos soluciones.