Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

La ecuación de la recta tangente a $y = f(x)$ en el punto $x = 1$ es:$$y - f(1) = f'(1)\cdot(x - 1)$$Hacemos los cálculos:$$f(x) = \frac{4}{x} \rightarrow f'(x) = \frac{-4}{x^2}$$Así$$f(1) = 4 \quad \text{y} \quad f'(1) = -4$$La ecuación de la recta tangente pedida es:$$y - 4 = -4\cdot(x - 1) \rightarrow y = -4x + 8 \rightarrow 4x + y = 8$$La ecuación de la recta normal se puede calcular a partir de la ecuación:$$y - f(a) = \frac{-1}{f'(a)}\cdot(x - a)$$$$y - 4 = \frac{-1}{-4}\cdot(x - 1) \rightarrow 4y - 16 = x - 1 \rightarrow x - 4y = -15$$b)

Para hacer el esbozo de la gráfica basta con ver que:

• $x = 0$ no es del dominio
• $f$ es continua
• $f'(x) = -\dfrac{4}{x^2} < 0$; por tanto, $f$ es decreciente
• Los ejes de coordenadas son rectas asíntotas de la función.

La recta dada es la recta tangente en el punto $(1, 4)$.

El área pedida es la región $ABCD$, que se puede obtener restando el área del triángulo $ADE$ de la región $ABCE$:$$A_T = \int_1^3 \frac{4}{x}\,dx - A_{ADE} = \Big[4\ln(x)\Big]_1^3 - \frac{1\cdot 4}{2} =$$$$= 4[(\ln(3) - \ln(1)] - 2 = 4\ln(3) - 2 = 2{,}39\ u^2$$Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por el planteamiento, donde se diga que la recta tangente tiene pendiente $f'(a)$.
• 0,5 p. por la expresión de la recta tangente.
• 0,5 p. por la expresión de la recta normal.

b)

• 0,5 p. por el esbozo de la gráfica.
• 0,25 p. por el planteamiento, donde se indique que el área se puede obtener como diferencia de dos áreas calculables o como suma de dos integrales definidas.
• 0,5 p. por el valor final del área pedida.