Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Escribimos el sistema en forma matricial. La matriz de coeficientes y la matriz ampliada, $A$ y $A'$, son las siguientes:$$\underbrace{\left(\begin{array}{c|c} \underbrace{\begin{matrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}}_{A} & \begin{matrix} 3+k \\ 4 \\ 5 \end{matrix} \end{array}\right)}_{A'}$$Calculamos el determinante de la matriz $A$:$$\begin{vmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -k^2 + 4k - 3 = -(k-1)(k-3)$$que se anula para los valores $k = 1$ y $k = 3$. Así,

• para $k \neq 1$ y $k \neq 3$, el determinante de $A$ no se anula. Entonces, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A') = 3$, que también coincide con el número de incógnitas, y se trata de un sistema compatible determinado.
• para $k = 1$, tenemos el sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$Las dos primeras ecuaciones son idénticas; por tanto, el $\text{rango}(A)$ y el $\text{rango}(A')$ no serán máximos.

Calculando rangos tenemos que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A') = 2 < 3$. Tenemos 3 incógnitas; por tanto, es un sistema compatible indeterminado.

• para $k = 3$ se obtiene el sistema:

$$\begin{cases} x + 3y + z = 6 \\ 3x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$En este caso, la primera y la tercera ecuación son idénticas en la parte de las incógnitas pero no en los términos independientes; con esto ya podemos afirmar que se trata de un sistema incompatible.

También se pueden estudiar los rangos para ver que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A') = 3$.

b)

Para $k = 1$, el sistema es:$$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$Como la primera y la segunda ecuación son iguales, se puede eliminar una: se trata de un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.$$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$Tomando $z = t$, se obtiene que la solución es: $x = \dfrac{7}{2} - t,\ y = \dfrac{1}{2},\ z = t$ con $t \in \mathbb{R}$

Las dos primeras ecuaciones del sistema, que son iguales, corresponden a un mismo plano. La tercera ecuación corresponde a un plano que corta al anterior en una recta.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por la representación matricial del sistema.
• 0,25 p. por llegar a los valores críticos para la discusión.
• 0,75 p. por la discusión de los tres casos (0,25 por cada caso).

b)

• 0,25 p. por observar que es un sistema compatible indeterminado.
• 0,75 p. por la solución. Se valorará como correcto tanto si lo hacen por el método de Gauss como por sustitución o igualación.
• 0,25 p. por la interpretación geométrica.