Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

a) Altura. En el triángulo rectángulo de hipotenusa 10 y cateto $\frac{x}{2}$:$$h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - \frac{x^2}{4}}$$Área. Base por altura entre dos:$$A(x) = \frac{x}{2}\sqrt{100 - \frac{x^2}{4}} = \frac{x}{4}\sqrt{400 - x^2} \ \text{cm}^2$$Para que exista el triángulo, $0 < x < 20$ (desigualdad triangular); en $x = 0$ y $x = 20$ el triángulo degenera y el área vale 0, por eso el enunciado trabaja en $[0, 20]$.

b) Derivada. Con la forma $A(x) = \frac{1}{4}\,x\sqrt{400 - x^2}$, por la regla del producto y la de la cadena:$$A'(x) = \frac{1}{4}\left(\sqrt{400 - x^2} + x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{400 - x^2}}\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{400 - x^2 - x^2}{\sqrt{400 - x^2}} = \frac{200 - x^2}{2\sqrt{400 - x^2}}$$válida en $0 \le x < 20$ (en $x = 20$ la raíz del denominador se anula y $A$ no es derivable).

Puntos críticos. $A'(x) = 0 \iff 200 - x^2 = 0 \iff x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ (la raíz negativa queda fuera del intervalo).

Signo de $A'$. El denominador es positivo, así que manda $200 - x^2$:

• en $[0, 10\sqrt{2})$: $200 - x^2 > 0$, $A' > 0$, $A$ crece;
• en $(10\sqrt{2}, 20)$: $200 - x^2 < 0$, $A' < 0$, $A$ decrece.

c) Máximo. $A$ crece hasta $x = 10\sqrt{2}$ y decrece después, así que ahí tiene su máximo absoluto en $[0, 20]$ (en los extremos, $A(0) = A(20) = 0$):$$A\big(10\sqrt{2}\big) = \frac{10\sqrt{2}}{4}\sqrt{400 - 200} = \frac{10\sqrt{2}\cdot 10\sqrt{2}}{4} = \frac{200}{4} = 50 \ \text{cm}^2$$Interpretación. Con $x = 10\sqrt{2}$ se cumple $x^2 = 10^2 + 10^2$: el triángulo es rectángulo, con el ángulo recto entre los dos lados iguales. Cuadra con la otra forma de escribir el área, $A = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot \operatorname{sen}\alpha \le 50$, siendo $\alpha$ el ángulo entre los lados iguales, que es máxima con $\alpha = 90^\circ$.