Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Se dan el plano

\pi: 2x + y - z - 5 = 0

y los puntos

A(1, 2, -1)

B(2, 1, 0)

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos

A

B

y es perpendicular a

\pi

. (4 puntos)

b) Las ecuaciones paramétricas de la recta

r

que es perpendicular a

\pi

y pasa por

A

(1 punto). Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta

r

. (2 puntos)

c) La distancia entre el punto

B

y la recta

r

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

y + z = 1

.

b)

r: x = 1 + 2t,\ y = 2 + t,\ z = -1 - t

; por ejemplo,

r

es la intersección de

x - 2y + 3 = 0

y + z - 1 = 0

.

c)

d(B, r) = \sqrt{3} \approx 1{,}73

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El protagonista es el vector normal de

\pi

\vec n = (2, 1, -1)

un plano perpendicular a $\pi$ contiene la dirección de $\vec n$ ; si además pasa por $A$ y $B$ , contiene también $\overrightarrow{AB}$ , y su normal es el producto vectorial de los dos;
una recta perpendicular a $\pi$ tiene a $\vec n$ como director; dos planos que la contienen salen de igualar dos a dos las fracciones de su ecuación continua;
la distancia de un punto a una recta, con la fórmula del producto vectorial (área del paralelogramo entre la base).

Desarrollo

a) Vectores del plano.

\overrightarrow{AB} = (2 - 1,\ 1 - 2,\ 0 + 1) = (1, -1, 1)

\vec n = (2, 1, -1)

.

Vector característico (normal) del plano buscado.

\overrightarrow{AB} \times \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \big((-1)(-1) - 1\cdot 1,\ 1\cdot 2 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\big) = (0, 3, 3)

Tomamos

(0, 1, 1)

.

Ecuación.

y + z + D = 0

y, por

A

2 - 1 + D = 0

D = -1

y + z = 1

Comprobación.

B

1 + 0 = 1

✓. Perpendicular a

\pi

(0, 1, 1)\cdot(2, 1, -1) = 0 + 1 - 1 = 0

✓.

b) Recta $r$ . Pasa por

A(1, 2, -1)

con director

\vec n = (2, 1, -1)

r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = -1 - t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

Dos planos que la contienen. De la ecuación continua

\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 1}{-1}

igualando la primera y la segunda: $x - 1 = 2(y - 2)$ , es decir, $x - 2y + 3 = 0$ ;
igualando la segunda y la tercera: $-(y - 2) = z + 1$ , es decir, $y + z - 1 = 0$ .

r: \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases}

El segundo es justo el plano de a): tiene sentido, porque ese plano pasa por

A

y contiene la dirección de

\vec n

, así que contiene a

r

.

Comprobación. El punto de

r

con

t = 1

(3, 3, -2)

, cumple

3 - 6 + 3 = 0

✓ y

3 - 2 - 1 = 0

✓.

c) Distancia de $B$ a $r$ . Con

A \in r

, el director

\vec u = (2, 1, -1)

\overrightarrow{AB} = (1, -1, 1)

d(B, r) = \frac{\left|\overrightarrow{AB} \times \vec u\right|}{|\vec u|}

El producto vectorial ya lo tenemos de a):

\overrightarrow{AB} \times \vec u = (0, 3, 3)

, de módulo

\sqrt{0 + 9 + 9} = 3\sqrt{2}

. Y

|\vec u| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

d(B, r) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}732 \ \text{u}

Comprobación con el pie de la perpendicular: el punto

X = (1 + 2t,\ 2 + t,\ -1 - t)

r

con

\overrightarrow{XB} \perp \vec u

cumple

2(1 - 2t) + (-1 - t) - (1 + t) = 0

, o sea

-6t = 0

t = 0

: el pie es el propio

A

d = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3}

✓.

Consejo

Que el plano sea perpendicular a $\pi$ significa que el normal de $\pi$ es una dirección dentro del plano buscado, no su normal: es el error más frecuente. Los criterios dan 2 de los 4 puntos de a) por el vector característico. Para dar «dos planos que contengan a la recta» lo más rápido es partir la ecuación continua en dos igualdades; cualquier par válido puntúa igual.