Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

Enunciado

Se dan las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix},

que dependen del parámetro real

b

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de

b

para que cada una de las matrices

AB

BA

tenga inversa. (3 puntos)

b) Los valores de

b

para que la matriz

A^T A

tenga inversa, siendo

A^T

la matriz traspuesta de

A

. (3 puntos)

c) La inversa de

A^T A

, cuando dicha inversa exista. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

AB = \begin{pmatrix} -3 & 2b & 0 \\ -b & 0 & 2b \\ -1 & 2b & -4 \end{pmatrix}

no tiene inversa nunca (

|AB| = 0

BA = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ b^2 & -4 \end{pmatrix}

tiene inversa si

b \neq \pm\sqrt{6}

.

b)

A^T A = \begin{pmatrix} b^2 + 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}

tiene inversa para todo

b \in \mathbb{R}

.

c)

(A^T A)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{b^2 + 2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

A

3 \times 2

B

2 \times 3

, así que

AB

3 \times 3

BA

2 \times 2

: las dos son cuadradas y tiene sentido preguntar por su inversa. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero, así que el plan es multiplicar, calcular el determinante y ver cuándo se anula.

Hay un atajo que conviene saber:

AB

es el producto de una matriz de rango como mucho 2 por otra, así que su rango no pasa de 2 y nunca puede ser invertible. Lo comprobaremos con el determinante.

Desarrollo

a) Producto $AB$ .

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2 & 2b & 2 - 2 \\ -b & 0 & 2b \\ 1 - 2 & 2b & -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2b & 0 \\ -b & 0 & 2b \\ -1 & 2b & -4 \end{pmatrix}

Determinante de $AB$ . Desarrollando por la primera fila:

|AB| = -3\,\big(0\cdot(-4) - 2b\cdot 2b\big) - 2b\,\big((-b)(-4) - 2b\cdot(-1)\big) + 0 = 12b^2 - 2b\cdot 6b = 0

Es cero para todo

b

: $AB$ no tiene inversa para ningún valor de $b$ . Era de esperar:

\operatorname{rg}(AB) \le \operatorname{rg}(A) \le 2 < 3

.

Producto $BA$ .

BA = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 0 - 2 & -2 + 0 + 4 \\ -1 + b^2 + 1 & -2 + 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ b^2 & -4 \end{pmatrix}

Determinante de $BA$ .

|BA| = (-3)(-4) - 2b^2 = 12 - 2b^2 = 0 \iff b^2 = 6 \iff b = \pm\sqrt{6}

$BA$ tiene inversa si y solo si $b \neq \pm\sqrt{6}$ .

b) Traspuesta y producto.

A^T = \begin{pmatrix} 1 & b & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^T A = \begin{pmatrix} 1 + b^2 + 1 & 2 + 0 - 2 \\ 2 + 0 - 2 & 4 + 0 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b^2 + 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}

Determinante.

|A^T A| = 8\,(b^2 + 2)

. Como

b^2 + 2 \ge 2 > 0

, nunca se anula: $A^T A$ tiene inversa para cualquier valor de $b$ .

c) Inversa. Es diagonal, así que su inversa es la diagonal de los inversos (también sale con la fórmula de la adjunta:

\frac{1}{|M|}\begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & b^2 + 2 \end{pmatrix}

(A^T A)^{-1} = \frac{1}{8(b^2 + 2)}\begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & b^2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{b^2 + 2} & 0 \\[4pt] 0 & \dfrac{1}{8} \end{pmatrix}

Comprobación.

\begin{pmatrix} b^2 + 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{b^2 + 2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix} = I

✓.

Consejo

Antes de multiplicar, mira las dimensiones: $(3 \times 2)(2 \times 3)$ da $3 \times 3$ y al revés, $2 \times 2$ . Los criterios dan 0,5 puntos por el producto $AB$ , 1 por justificar que no es invertible y 1,5 por $BA$ : un error en el producto arrastra todo lo demás, así que repasa cada término. Que un determinante salga cero para cualquier $b$ no es un fallo: explícalo con el rango.