Sea la recta r: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{-1} y los puntos P = (1, 0, 0) y Q = (2, 1, \alpha). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El valor de \alpha para que la recta que pasa por P y Q sea paralela a r. (3 puntos) b) La ecuación del plano que contiene a P y Q y es paralelo a r, cuando \alpha = 1. (3 puntos) c) La distancia del punto Q al plano que pasa por P y es perpendicular a r, cuando \alpha = 1. (4 puntos)

a) \alpha = -1. b) x - y = 1. c) El plano es \pi: x + y - z = 1 y d(Q, \pi) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58 u.

Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Sea la recta

r: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{-1}

y los puntos

P = (1, 0, 0)

Q = (2, 1, \alpha)

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El valor de

\alpha

para que la recta que pasa por

P

Q

sea paralela a

r

. (3 puntos)

b) La ecuación del plano que contiene a

P

Q

y es paralelo a

r

, cuando

\alpha = 1

. (3 puntos)

c) La distancia del punto

Q

al plano que pasa por

P

y es perpendicular a

r

, cuando

\alpha = 1

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\alpha = -1

.

b)

x - y = 1

.

c) El plano es

\pi: x + y - z = 1

d(Q, \pi) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación continua de

r

se leen un punto,

R = (1, -1, 0)

, y su vector director,

\vec u = (1, 1, -1)

. Todo el problema gira en torno a

\vec u

en a), la recta $PQ$ es paralela a $r$ si $\overrightarrow{PQ}$ es proporcional a $\vec u$ ;
en b), el plano contiene a $\overrightarrow{PQ}$ y a $\vec u$ , así que su normal es el producto vectorial de los dos;
en c), el plano perpendicular a $r$ tiene $\vec u$ como vector normal, y después basta la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

Desarrollo

a) Condición de paralelismo.

\overrightarrow{PQ} = (2 - 1,\ 1 - 0,\ \alpha - 0) = (1, 1, \alpha)

tiene que ser proporcional a

\vec u = (1, 1, -1)

\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{\alpha}{-1} \;\Longrightarrow\; \alpha = -1

No son la misma recta.

P

no está en

r

\frac{1 - 1}{1} = 0

pero

\frac{0 + 1}{1} = 1

. Así que con

\alpha = -1

las rectas son paralelas y distintas.

b) Vectores del plano. Con

\alpha = 1

\overrightarrow{PQ} = (1, 1, 1)

. El plano contiene esta dirección y, por ser paralelo a

r

, también la de

\vec u = (1, 1, -1)

.

Vector normal.

\overrightarrow{PQ} \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-1) - 1\cdot 1,\ 1\cdot 1 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot 1 - 1\cdot 1\big) = (-2, 2, 0)

Tomamos

\vec n = (1, -1, 0)

.

Ecuación.

x - y + D = 0

y, por

P = (1, 0, 0)

1 + D = 0

D = -1

x - y = 1

Comprobación.

Q = (2, 1, 1)

2 - 1 = 1

✓. Y

r

no está contenida en el plano:

R = (1, -1, 0)

1 + 1 = 2 \neq 1

, así que es paralela de verdad.

c) Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su vector normal es

\vec u = (1, 1, -1)

x + y - z + D = 0

y, por

P

1 + D = 0

\pi: x + y - z = 1

Distancia de $Q$ a $\pi$ . Con

Q = (2, 1, 1)

d(Q, \pi) = \frac{|2 + 1 - 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 \ \text{u}

Consejo

En c) hay dos pasos y los dos puntúan: primero el plano (su normal es el director de $r$ ) y luego la distancia. No confundas «perpendicular a $r$ » con «paralelo a $r$ »: en el primero $\vec u$ es el normal; en el segundo, $\vec u$ está dentro del plano y el normal sale de un producto vectorial. Comprueba siempre que los puntos del enunciado están en el plano que obtienes.