Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Julio

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\,(a - 1) - 1\,(1 - a) + a\,(1 - a^2) = -a^3 + 3a - 2$$Como $a = 1$ es raíz, por Ruffini $-a^3 + 3a - 2 = -(a - 1)(a^2 + a - 2) = -(a - 1)^2(a + 2)$. Así que$$|A| = -(a - 1)^2(a + 2) = 0 \iff a = 1 \ \text{ o } \ a = -2$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq -2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 1$. Las tres ecuaciones quedan $x + y + z = 1$, $x + y + z = 1$ y $x + y + z = -2$: las dos primeras y la tercera se contradicen. En rangos, $\operatorname{rg} A = 1$ (las tres filas son iguales) y $\operatorname{rg} A^* = 2$, porque$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$$Sistema incompatible.

Caso $a = -2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$ da $\operatorname{rg} A = 2$. Para la ampliada basta ver que la tercera fila es menos la suma de las dos primeras: $-(1 + 1) = -2$, $-(1 - 2) = 1$, $-(-2 + 1) = 1$ y $-(1 + 1) = -2$. Por tanto $\operatorname{rg} A^* = 2$ también (cualquier menor de orden 3 de $A^*$ se anula).

$\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.

b) Resolución con $a = -2$. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (la tercera es combinación de ellas):$$\begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ x - 2y + z = 1 \end{cases}$$Restándolas: $3y - 3z = 0$, es decir, $y = z$. Llamando $z = t$, de la primera $x = 1 - t + 2t = 1 + t$:$$(x, y, z) = (1 + t,\ t,\ t), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación en la tercera: $-2(1 + t) + t + t = -2$ ✓.

c) Resolución con $a = 0$. El sistema es$$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 1 \\ y + z = -2 \end{cases}$$Sumando las tres: $2(x + y + z) = 0$, así que $x + y + z = 0$. Restando a esta cada ecuación: $z = -1$, $y = -1$ y $x = 2$.

Comprobación: $2 - 1 = 1$ ✓, $2 - 1 = 1$ ✓, $-1 - 1 = -2$ ✓.