Los vértices de un triángulo son A(0, 12), B(-5, 0) y C(5, 0). Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas (-x, 0), (x, 0), siendo 0 \le x \le 5. Los otros dos vértices están situados en los segmentos AB y AC. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La expresión f(x) del área del rectángulo anterior. (4 puntos) b) El valor de x para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido. (3 puntos) c) La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo. (3 puntos)

Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

Enunciado

Los vértices de un triángulo son

A(0, 12)

B(-5, 0)

C(5, 0)

. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas

(-x, 0)

(x, 0)

, siendo

0 \le x \le 5

. Los otros dos vértices están situados en los segmentos

AB

AC

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La expresión

f(x)

del área del rectángulo anterior. (4 puntos)

b) El valor de

x

para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido. (3 puntos)

c) La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

f(x) = \dfrac{24\,x\,(5 - x)}{5}

, con

0 \le x \le 5

.

b) Máxima para

x = \dfrac{5}{2}

: el rectángulo mide 5 de base y 6 de altura (área 30 u²).

c) El rectángulo tiene 30 u² y el triángulo 60 u²: la proporción es

\dfrac{1}{2}

(el 50 %).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El triángulo es isósceles, simétrico respecto del eje

OY

: la base va de

-5

5

y el vértice superior está en

(0, 12)

. El rectángulo apoya su base en el eje

OX

, entre

-x

x

, así que su base mide

2x

. Su altura es la del punto del lado

AC

que está encima de

(x, 0)

: basta con la recta $AC$ .

Con la base y la altura en función de

x

tenemos el área, una parábola, y su máximo en

[0, 5]

sale derivando (o mirando el vértice).

Desarrollo

a) Recta $AC$ . Pasa por

A(0, 12)

C(5, 0)

; su pendiente es

m = \dfrac{0 - 12}{5 - 0} = -\dfrac{12}{5}

y = 12 - \frac{12}{5}\,x = \frac{12\,(5 - x)}{5}

Dimensiones del rectángulo. El vértice superior derecho es

\left(x, \tfrac{12(5 - x)}{5}\right)

, sobre

AC

; por la simetría, el izquierdo es

\left(-x, \tfrac{12(5 - x)}{5}\right)

, sobre

AB

(cuya recta es

y = \tfrac{12(5 + x)}{5}

, que en

-x

da lo mismo). Por tanto:

\text{base} = 2x, \qquad \text{altura} = \frac{12\,(5 - x)}{5}

Área.

f(x) = 2x\cdot\frac{12\,(5 - x)}{5} = \frac{24\,x\,(5 - x)}{5} = \frac{120x - 24x^2}{5}, \qquad 0 \le x \le 5

b) Derivada.

f'(x) = \frac{120 - 48x}{5} = \frac{24\,(5 - 2x)}{5} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5}{2}

Es un máximo.

f''(x) = -\dfrac{48}{5} < 0

. Además, en los extremos del intervalo

f(0) = f(5) = 0

(el rectángulo se aplasta), así que el máximo absoluto en

[0, 5]

está en

x = \tfrac{5}{2}

.

Dimensiones.

\text{base} = 2\cdot\frac{5}{2} = 5, \qquad \text{altura} = \frac{12\,(5 - 5/2)}{5} = \frac{12\cdot 5/2}{5} = 6

y el área máxima es

f\!\left(\tfrac{5}{2}\right) = 5\cdot 6 = 30\ \text{u}^2

.

c) Área del triángulo. Base

BC = 10

y altura 12:

S_{\triangle} = \frac{10\cdot 12}{2} = 60\ \text{u}^2

Proporción.

\frac{S_{\text{rect}}}{S_{\triangle}} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}

El rectángulo de área máxima ocupa la mitad del triángulo. (Es un resultado general: el mayor rectángulo inscrito así en cualquier triángulo tiene la mitad de su altura y la mitad de su base.)

Consejo

La clave de a) es la altura: sale de la ecuación de la recta $AC$ , no de una regla de tres a ojo. Escribe la recta y sustituye; es lo que más puntúa del apartado.

En b) justifica que es máximo (segunda derivada negativa o comparar con $f(0) = f(5) = 0$ ) y no olvides dar las dimensiones, que también se piden: base $2x$ , no $x$ .

Paso 1 de 3

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