Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

Datos de las rectas. $r$ pasa por $P_r(1, 2, 0)$ con director $\vec u = (0, 1, 2)$. $s$ pasa por $P_s(-1, 0, -2)$ con director $\vec v = (2, -1, 1)$. El normal de $\pi$ es $\vec n = (3, a, -1)$.

a) Condición de paralelismo. $r \parallel \pi$ exige $\vec u \perp \vec n$:$$\vec u \cdot \vec n = 0\cdot 3 + 1\cdot a + 2\cdot(-1) = a - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2$$Condición de que un punto esté en el plano. $P_r \in \pi$ exige$$3\cdot 1 + a\cdot 2 - 0 + 1 = 2a + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -2$$Conclusión. Las dos condiciones piden valores distintos de $a$, así que no hay ningún valor de $a$ con $r \subset \pi$. Para $a = 2$ la recta es paralela al plano (sin estar en él); para cualquier otro valor lo corta en un punto.

Lo mismo se ve sustituyendo la paramétrica en el plano: $3 + a(2 + \lambda) - 2\lambda + 1 = 0$, es decir, $(a - 2)\lambda + (2a + 4) = 0$. Para que se cumpla para todo $\lambda$ harían falta $a - 2 = 0$ y $2a + 4 = 0$ a la vez, imposible.

b) Posición relativa. $\vec u = (0, 1, 2)$ y $\vec v = (2, -1, 1)$ no son proporcionales, así que las rectas se cortan o se cruzan.

Producto vectorial de los directores.$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \big(1 + 2,\; 4 - 0,\; 0 - 2\big) = (3, 4, -2), \qquad |\vec u \times \vec v| = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$$Producto mixto. Con $\overrightarrow{P_rP_s} = (-1 - 1,\ 0 - 2,\ -2 - 0) = (-2, -2, -2)$:$$\left[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec u, \vec v\right] = \overrightarrow{P_rP_s}\cdot(\vec u \times \vec v) = -6 - 8 + 4 = -10 \neq 0$$Como no es cero, las rectas se cruzan.

Distancia.$$d(r, s) = \frac{\left|\left[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec u, \vec v\right]\right|}{|\vec u \times \vec v|} = \frac{10}{\sqrt{29}} = \frac{10\sqrt{29}}{29} \approx 1{,}857\ \text{u}$$c) Director de $t$. Es perpendicular a los normales de sus dos planos, $(2, -1, 0)$ y $(0, 1, -1)$:$$\vec w = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \big(1 - 0,\; 0 + 2,\; 2 - 0\big) = (1, 2, 2)$$Coseno del ángulo. El ángulo entre dos rectas es el agudo, así que se toma el valor absoluto:$$\cos\alpha = \frac{|\vec u \cdot \vec w|}{|\vec u|\,|\vec w|} = \frac{|0 + 2 + 4|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{9}} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0{,}894$$(El ángulo es $\alpha \approx 26{,}57^\circ$.)