Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

También trata: Sistemas de ecuaciones

Enunciado

Sea

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La justificación de que

A

tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa. (3 puntos)

b) Dos constantes

a, b

de modo que

A^{-1} = A^2 + aA + bI

. Se puede usar (sin comprobarlo) que

A

verifica la ecuación

A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0

siendo

I

la matriz identidad. (3 puntos)

c) El valor de

\lambda

para que el sistema de ecuaciones

(A - \lambda I)\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

tenga infinitas soluciones (2 puntos). Para dicho valor de

\lambda

hallar todas las soluciones del sistema. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = 1 \neq 0

, luego existe

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}

.

b)

A^{-1} = A^2 - 3A + 3I

a = -3

b = 3

.

c)

\lambda = 1

; soluciones

x = \alpha

y = 0

z = \beta

, con

\alpha, \beta \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) es de manual: determinante distinto de cero y la inversa por adjuntos.

En b) no hay que calcular

A^2

: la ecuación que nos regalan se puede reescribir sacando

A

factor común,

A\,(A^2 - 3A + 3I) = I

, y eso dice exactamente quién es la inversa.

En c), un sistema homogéneo siempre es compatible; tiene infinitas soluciones justo cuando el determinante de su matriz se anula. Aquí

A - \lambda I

es casi triangular y su determinante sale enseguida.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna:

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 - 0) = 1 \neq 0

luego

A

es regular y tiene inversa.

Adjuntos. Con

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

Fila 1: $A_{11} = 1$ , $A_{12} = -(0 - 0) = 0$ , $A_{13} = 0 - 0 = 0$ .
Fila 2: $A_{21} = -(2 - 0) = -2$ , $A_{22} = 1 - 0 = 1$ , $A_{23} = -(2 - 0) = -2$ .
Fila 3: $A_{31} = 0 - 0 = 0$ , $A_{32} = -(0 - 0) = 0$ , $A_{33} = 1 - 0 = 1$ .

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Inversa.

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\operatorname{Adj}(A)^t

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 + 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 - 2 & 1 \end{pmatrix} = I \ \checkmark

b) Despejar $I$ . De

A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0

A^3 - 3A^2 + 3A = I \;\Longrightarrow\; A\,(A^2 - 3A + 3I) = I

(Las matrices

A^2

A

I

conmutan con

A

, así que también

(A^2 - 3A + 3I)\,A = I

.)

Identificar la inversa. Como

A

tiene inversa, multiplicando por

A^{-1}

a la izquierda:

A^{-1} = A^2 - 3A + 3I \;\Longrightarrow\; a = -3,\quad b = 3

Comprobación.

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}

, y

A^2 - 3A + 3I = \begin{pmatrix} 1 - 3 + 3 & 4 - 6 & 0 \\ 0 & 1 - 3 + 3 & 0 \\ 0 & 4 - 6 & 1 - 3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = A^{-1} \ \checkmark

c) Matriz del sistema.

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix}

Condición de infinitas soluciones. El sistema es homogéneo, así que siempre es compatible (tiene la solución trivial). Tiene infinitas soluciones si y solo si

\operatorname{rg}(A - \lambda I) < 3

, es decir, si su determinante es 0. Desarrollando por la primera columna:

|A - \lambda I| = (1 - \lambda)\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)^3 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1

Para

\lambda \neq 1

el sistema solo tiene la solución

x = y = z = 0

.

Resolver con $\lambda = 1$ .

A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2y = 0 \\ 0 = 0 \\ 2y = 0 \end{cases}

El rango es 1, así que hay

3 - 1 = 2

parámetros. La única condición es

y = 0

;

x

z

quedan libres:

x = \alpha,\qquad y = 0,\qquad z = \beta,\qquad \alpha, \beta \in \mathbb{R}

Consejo

En b) el corrector busca la idea de sacar factor común $A$ y leer la inversa; calcular $A^2$ y resolver un sistema para $a$ y $b$ también vale, pero es más largo y da más ocasiones de equivocarse. Si te sobra tiempo, úsalo para comprobar.

En c) di por qué el sistema homogéneo siempre es compatible y que «infinitas soluciones» equivale a $|A - \lambda I| = 0$ . Y cuenta los parámetros: rango 1 con tres incógnitas son dos parámetros, no uno.