Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

También trata: Integrales · Límites y continuidad

Enunciado

Dada la función

f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}

, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El dominio de definición y las asíntotas de la función

f

. (3 puntos)

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento (3 puntos), así como la representación gráfica de la función. (1 punto)

c) El valor de

\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\operatorname{Dom} f = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

. Asíntotas verticales

x = -1

x = 1

; horizontales

y = 1

(en

+\infty

) e

y = -1

(en

-\infty

).

b)

f'(x) = -\dfrac{1}{(x^2-1)^{3/2}} < 0

: decreciente en

(-\infty, -1)

y en

(1, +\infty)

, sin extremos. Dos ramas simétricas respecto del origen, por encima de

y = 1

y por debajo de

y = -1

.

c)

\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx = 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \approx 1{,}0964

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La raíz del denominador manda: tiene que existir y no anularse, así que

x^2 - 1 > 0

. Los extremos del dominio,

x = \pm 1

, son los candidatos a asíntotas verticales, y en

\pm\infty

la función se parece a

\dfrac{x}{|x|}

, que da dos asíntotas horizontales distintas.

Además,

f

es impar (

f(-x) = -f(x)

): basta estudiar

x > 1

y trasladar por simetría respecto del origen.

Para la integral, el numerador

x

es casi la derivada de

x^2 - 1

: es una inmediata del tipo

\dfrac{u'}{2\sqrt u}

Desarrollo

a) Dominio. Hace falta

x^2 - 1 > 0

, es decir,

|x| > 1

\operatorname{Dom} f = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

Simetría.

f(-x) = \dfrac{-x}{\sqrt{x^2 - 1}} = -f(x)

: la función es impar.

Asíntotas verticales. Solo se puede llegar a

x = 1

por la derecha y a

x = -1

por la izquierda:

\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty

Así que

x = 1

x = -1

son asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. Dividiendo por

|x| = \sqrt{x^2}

\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 - 1/x^2}} = 1, \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - 1/x^2}} = -1

Por tanto

y = 1

es asíntota horizontal en

+\infty

y = -1

-\infty

. Al haber horizontales, no hay oblicuas.

b) Derivada. Con la regla del cociente y

\left(\sqrt{x^2 - 1}\right)' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}

f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) - x^2}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{-1}{(x^2 - 1)^{3/2}}

Signo. El denominador es positivo en todo el dominio, así que

f'(x) < 0

siempre:

f

es decreciente en

(-\infty, -1)

y en

(1, +\infty)

, y no tiene extremos relativos. (Ojo: no es decreciente en la unión, porque

f(-2) < 0 < f(2)

; lo es en cada intervalo.)

Posición respecto de las asíntotas. Para

x > 1

\sqrt{x^2 - 1} < x

, luego

f(x) > 1

: la curva va por encima de

y = 1

. Por la simetría, para

x < -1

va por debajo de

y = -1

.

Gráfica. Dos ramas simétricas respecto del origen:

Para $x > 1$ , la curva baja desde $+\infty$ (pegada a la asíntota $x = 1$ ) y se acerca a $y = 1$ por encima; pasa, por ejemplo, por $\left(2, \tfrac{2}{\sqrt 3}\right)$ , con $\tfrac{2}{\sqrt 3} \approx 1{,}15$ .
Para $x < -1$ también decrece: empieza cerca de $y = -1$ , por debajo, cuando $x \to -\infty$ , y cae hacia $-\infty$ al acercarse a $x = -1$ por la izquierda; pasa por $\left(-2, -\tfrac{2}{\sqrt 3}\right)$ .

No hay gráfica entre

x = -1

x = 1

Gráfica de f(x) = x/√(x² − 1): dos ramas decrecientes, simétricas respecto del origen. Para x > 1 baja desde más infinito junto a la asíntota x = 1 y se acerca a y = 1 por encima; para x < −1 viene de y = −1 por debajo y cae a menos infinito junto a x = −1. No hay gráfica entre −1 y 1

c) Primitiva. Como

(x^2 - 1)' = 2x

\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \sqrt{x^2 - 1} + C

(Es lo mismo que el cambio

t = x^2 - 1

dt = 2x\,dx

.)

Regla de Barrow. El intervalo

[2, 3]

está dentro del dominio:

\int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \Big[\sqrt{x^2 - 1}\Big]_2^3 = \sqrt{8} - \sqrt{3} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \approx 1{,}0964

Tiene sentido: en

[2, 3]

la función vale entre

1{,}06

1{,}15

, y el intervalo mide 1.

Consejo

En el dominio, la desigualdad es estricta: $x^2 - 1 \ge 0$ no basta porque la raíz está en el denominador. Y en las asíntotas horizontales separa $+\infty$ de $-\infty$ : $\sqrt{x^2} = |x|$ , no $x$ , y por eso salen $y = 1$ e $y = -1$ .

«Siempre decreciente» se escribe intervalo a intervalo: una función decreciente en cada rama del dominio no lo es en la unión. Para la gráfica, apóyate en asíntotas, monotonía, simetría y un par de puntos.