Se dan los planos \pi: x + y = 1 y \pi': x - y + z = 1 y el punto P(1, -1, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P y es paralela a los planos \pi y \pi'. (3 puntos) b) La distancia de la recta r a cada uno de los planos \pi y \pi'. (3 puntos) c) Las ecuaciones de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos \pi y \pi'. (4 puntos)

Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Se dan los planos

\pi: x + y = 1

\pi': x - y + z = 1

y el punto

P(1, -1, 0)

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta

r

que pasa por el punto

P

y es paralela a los planos

\pi

\pi'

. (3 puntos)

b) La distancia de la recta

r

a cada uno de los planos

\pi

\pi'

. (3 puntos)

c) Las ecuaciones de la recta que pasa por

P

y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos

\pi

\pi'

. (4 puntos)

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Resultado

r: x = 1 - \lambda,\ y = -1 + \lambda,\ z = 2\lambda

\lambda \in \mathbb{R}

.

b)

d(r, \pi) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707

u y

d(r, \pi') = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577

u.

c)

x = 1 + t,\ y = -1 + 5t,\ z = -2t

t \in \mathbb{R}

; corta a

\pi \cap \pi'

\left(\tfrac{7}{6}, -\tfrac{1}{6}, -\tfrac{1}{3}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una recta paralela a dos planos a la vez tiene que ser perpendicular a sus dos vectores normales, así que su director es el producto vectorial de los normales. Ese mismo vector es el director de la recta intersección de los dos planos:

r

es, en realidad, una paralela a esa intersección que pasa por

P

.

Como

r

es paralela a cada plano, todos sus puntos están a la misma distancia de él: basta con la distancia de

P

al plano.

En c) buscamos el punto

X

de la recta intersección tal que

\overrightarrow{PX}

sea perpendicular a su director. Con

X

en paramétricas, eso es una ecuación de primer grado.

Desarrollo

a) Vectores normales.

\vec n = (1, 1, 0)

para

\pi

\vec n' = (1, -1, 1)

para

\pi'

.

Director de $r$ . Debe ser perpendicular a los dos normales:

\vec n \times \vec n' = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1 - 0,\; 0 - 1\cdot 1,\; -1 - 1) = (1, -1, -2)

Tomamos el opuesto,

\vec v = (-1, 1, 2)

.

Ecuaciones paramétricas. Por

P(1, -1, 0)

r: \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación.

\vec v \cdot \vec n = -1 + 1 + 0 = 0

✓ y

\vec v \cdot \vec n' = -1 - 1 + 2 = 0

✓.

b) La recta no está en los planos.

P

no pertenece a

\pi

(

1 - 1 = 0 \neq 1

) ni a

\pi'

(

1 + 1 + 0 = 2 \neq 1

), así que

r

es paralela a cada uno sin estar contenida en él.

Distancia a $\pi$ . Como

r \parallel \pi

d(r, \pi) = d(P, \pi)

d(r, \pi) = \frac{|1 + (-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\ \text{u}

Distancia a $\pi'$ .

d(r, \pi') = \frac{|1 - (-1) + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\ \text{u}

c) Recta intersección $s = \pi \cap \pi'$ . Su director es

\vec n \times \vec n' = (1, -1, -2)

. Un punto: con

z = 0

x + y = 1

x - y = 1

dan

x = 1

y = 0

, es decir,

Q(1, 0, 0)

. Así

s: (x, y, z) = (1 + \mu,\; -\mu,\; -2\mu), \qquad \mu \in \mathbb{R}

Punto de corte $X$ . Un punto genérico de

s

X(1 + \mu, -\mu, -2\mu)

\overrightarrow{PX} = (\mu,\; 1 - \mu,\; -2\mu)

Exigimos que sea perpendicular al director de

s

\overrightarrow{PX} \cdot (1, -1, -2) = \mu - (1 - \mu) + 4\mu = 6\mu - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \mu = \frac{1}{6}

Entonces

X = \left(\tfrac{7}{6}, -\tfrac{1}{6}, -\tfrac{1}{3}\right)

\overrightarrow{PX} = \left(\tfrac{1}{6}, \tfrac{5}{6}, -\tfrac{1}{3}\right)

, proporcional a

(1, 5, -2)

.

Recta pedida. Por

P

con director

(1, 5, -2)

\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 5t \\ z = -2t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z}{-2}

Comprobación.

(1, 5, -2)\cdot(1, -1, -2) = 1 - 5 + 4 = 0

✓, y con

t = \tfrac{1}{6}

se obtiene

X

, que cumple

\tfrac{7}{6} - \tfrac{1}{6} = 1

✓ y

\tfrac{7}{6} + \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{3} = 1

✓.

Consejo

«Paralela a los dos planos» se traduce en «director perpendicular a los dos normales»: producto vectorial y listo. Antes de usar $d(r, \pi) = d(P, \pi)$ di por qué vale (la recta es paralela al plano); si $r$ cortara al plano, la distancia sería 0.

En c) no basta con un vector perpendicular al director de la intersección: hay infinitos. Tiene que cortarla, y por eso se busca el punto $X$ de la recta. Comprueba al final que $X$ está en los dos planos.