Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2020 · Septiembre

a) Determinante de la matriz de coeficientes.$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 2 \\ 1 & -3 & a \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\,(-6 - a) - a\,(2 - a) + 2\,(1 + 3) = a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2)$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq 2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y + 2z = 3 \\ x - 3y + z = -2 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$$La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro e igualdades distintas ($3 \neq 1$): es imposible. Con rangos: $\operatorname{rg} A = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3\end{vmatrix} = -4 \neq 0$) y en la ampliada$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\,(-3+2) - 1\,(1+2) + 3\,(1+3) = -1 - 3 + 12 = 8 \neq 0,$$así que $\operatorname{rg} A^* = 3$: sistema incompatible.

Caso $a = 2$.$$\begin{cases} x + 2y + 2z = 3 \\ x - 3y + 2z = -2 \\ x + y + 2z = 2 \end{cases}$$$\operatorname{rg} A = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -3\end{vmatrix} = -5 \neq 0$). Orlando ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\,(-6+2) - 2\,(2+2) + 3\,(1+3) = -4 - 8 + 12 = 0$$y con la columna de $z$ el determinante es $|A| = 0$. Luego $\operatorname{rg} A^* = 2 = \operatorname{rg} A < 3$: sistema compatible indeterminado.

Conclusión. El sistema es compatible si y solo si $a \neq 1$: determinado para $a \neq 1, 2$ e indeterminado para $a = 2$.

b) Sistema con $a = 0$.$$\begin{cases} x + 2z = 3 \\ x - 3y = -2 \\ x + y + 2z = 0 \end{cases}$$Restar la primera de la tercera. $y = 0 - 3 = -3$.

Despejar $x$ y $z$. De la segunda, $x = -2 + 3y = -2 - 9 = -11$. De la primera, $2z = 3 - x = 14$, así que $z = 7$.

Comprobación. Tercera ecuación: $-11 - 3 + 14 = 0$ ✓.

c) El caso indeterminado es $a = 2$. Restando la tercera ecuación de la primera:$$(x + 2y + 2z) - (x + y + 2z) = 3 - 2 \;\Longrightarrow\; y = 1$$Una ecuación para $x$ y $z$. Sustituyendo $y = 1$ en la tercera: $x + 2z = 1$. (La segunda da lo mismo: $x - 3 + 2z = -2$.)

Parámetro. Tomando $z = \lambda$:$$x = 1 - 2\lambda,\qquad y = 1,\qquad z = \lambda,\qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación con $\lambda = 0$, el punto $(1, 1, 0)$: $1 + 2 + 0 = 3$ ✓, $1 - 3 + 0 = -2$ ✓, $1 + 1 + 0 = 2$ ✓.