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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

También trata: Distribución normal

Enunciado

En un garaje hay 30 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil, con independencia de lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de

0{,}4

, se pide:

a) Identificar y describir este modelo de probabilidad.

b) Hallar la probabilidad de que cierto día haya 8 automóviles aparcados.

c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

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Resultado

a) Binomial

B(30;\; 0{,}4)

: 30 aparcamientos independientes, cada uno ocupado con probabilidad

0{,}4

;

\mu = 12

\sigma \approx 2{,}68

.

b)

P(X = 8) \approx 0{,}0505

.

c)

P(10 \leq X \leq 20) \approx 0{,}823

(aproximación normal con corrección de continuidad).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada aparcamiento es una prueba con dos resultados (ocupado o libre), las 30 pruebas son independientes y la probabilidad de «ocupado» es siempre la misma: el número de coches aparcados es una binomial.

En b) se usa directamente la fórmula de la binomial.
En c) habría que sumar once términos; como $n$ es grande, se aproxima por una normal con la misma media y desviación típica, con la corrección de continuidad.

Desarrollo

a) Modelo. Sea

X

= «número de aparcamientos ocupados». Hay

n = 30

pruebas independientes (los aparcamientos), cada una con dos resultados posibles, «ocupado» (éxito) o «libre», y probabilidad de éxito constante

p = 0{,}4

(

q = 0{,}6

). Por tanto

X \sim B(30;\; 0{,}4), \qquad P(X = k) = \binom{30}{k}\,0{,}4^k\,0{,}6^{30 - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, 30

con media

\mu = np = 12

y desviación típica

\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68

.

b) Fórmula de la binomial.

P(X = 8) = \binom{30}{8}\,0{,}4^8\,0{,}6^{22} = 5\,852\,925 \cdot 0{,}4^8 \cdot 0{,}6^{22} \approx 0{,}0505

c) ¿Se puede aproximar por la normal?

np = 12 \geq 5

nq = 18 \geq 5

, así que sí:

X \approx Y \sim N(12;\; 2{,}68)

Corrección de continuidad. «Entre 10 y 20 coches» (incluidos) pasa a ser el intervalo

[9{,}5;\, 20{,}5]

de la normal:

P(10 \leq X \leq 20) \approx P(9{,}5 \leq Y \leq 20{,}5)

Tipificación.

Z = \dfrac{Y - 12}{2{,}68}

P\left(\frac{9{,}5 - 12}{2{,}68} \leq Z \leq \frac{20{,}5 - 12}{2{,}68}\right) = P(-0{,}93 \leq Z \leq 3{,}17)

Tabla. Por la simetría de la normal,

P(Z \leq -0{,}93) = 1 - P(Z \leq 0{,}93)

P(Z \leq 3{,}17) - \big(1 - P(Z \leq 0{,}93)\big) = 0{,}9992 - (1 - 0{,}8238) = 0{,}8230

(Sumando los once términos de la binomial se obtiene

0{,}8229

: la aproximación es muy buena.)

Consejo

En a) no basta con escribir $B(30;\, 0{,}4)$ : di por qué es binomial (pruebas independientes, dos resultados, $p$ constante) y qué cuenta la variable. En c), justifica la aproximación ( $np \geq 5$ y $nq \geq 5$ ) y no olvides la corrección de continuidad: usar 10 y 20 en lugar de 9,5 y 20,5 cambia el resultado y el corrector lo mira. (Nota: los criterios oficiales de la UPV/EHU tienen una errata tipográfica en el apartado b, donde imprimieron « $0{,}903$ » por copia accidental del resultado de A5.b; el valor numérico correcto de $\binom{30}{8} 0{,}4^8 0{,}6^{22}$ es $0{,}0505$ ).