Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Enunciado

Calcular las integrales indefinidas

I

J

explicando los métodos usados para su resolución.

I = \int x\cos(2x)\,dx\,, \qquad J = \int \frac{dx}{x^2 + 2x - 3}.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

$I = \dfrac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} + \dfrac{\cos(2x)}{4} + C$ (por partes, con $u = x$ , $dv = \cos(2x)\,dx$ ).
$J = -\dfrac{1}{4}\ln|x + 3| + \dfrac{1}{4}\ln|x - 1| + C$ (racional, descomponiendo en fracciones simples).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

$I$ es el producto de un polinomio por un coseno: el método natural es por partes, derivando el polinomio ( $u = x$ ) para que desaparezca.
$J$ es una integral racional con el denominador de grado 2 y raíces reales: se factoriza y se descompone en fracciones simples, que dan logaritmos.

Desarrollo

Integral $I$ : por partes. La fórmula es

\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du

. Tomamos

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \cos(2x)\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}

I = \frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} - \int \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} + C

(la última es casi inmediata:

\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x)

).

Comprobación de $I$ . Derivando:

\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) + x\cos(2x) - \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) = x\cos(2x)

.

Integral $J$ : fracciones simples. Las raíces de

x^2 + 2x - 3 = 0

son

x = 1

x = -3

, así que

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

y buscamos

\frac{1}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 1} \;\Longrightarrow\; 1 = A(x - 1) + B(x + 3)

Coeficientes. Con

x = 1

1 = 4B \Rightarrow B = \tfrac{1}{4}

. Con

x = -3

1 = -4A \Rightarrow A = -\tfrac{1}{4}

.

Integración. Cada fracción es inmediata (un logaritmo):

J = -\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x + 3} + \frac{1}{4}\int\frac{dx}{x - 1} = -\frac{1}{4}\ln|x + 3| + \frac{1}{4}\ln|x - 1| + C = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 3}\right| + C

Consejo

El enunciado pide explicar el método: escribe «por partes» con la elección de $u$ y $dv$ , y «fracciones simples» con la factorización del denominador. No olvides el valor absoluto en los logaritmos ni la constante $C$ . Si te sobra un minuto, deriva el resultado: es la comprobación más segura de una primitiva.