Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Tangente en un punto genérico. $f'(x) = 2x$. En el punto $(a, a^2 + 9)$ la tangente es$$y - (a^2 + 9) = 2a\,(x - a)$$Que pase por $P = (0, 0)$. Sustituyendo $x = 0$, $y = 0$:$$-(a^2 + 9) = 2a\,(-a) \;\Longrightarrow\; -a^2 - 9 = -2a^2 \;\Longrightarrow\; a^2 = 9 \;\Longrightarrow\; a = 3 \text{ o } a = -3$$Para $a = 3$. Punto de tangencia $(3, 18)$ y pendiente $f'(3) = 6$:$$y - 18 = 6(x - 3) \;\Longrightarrow\; y = 6x$$Para $a = -3$. Punto de tangencia $(-3, 18)$ y pendiente $f'(-3) = -6$:$$y - 18 = -6(x + 3) \;\Longrightarrow\; y = -6x$$Comprobación. Las dos pasan por el origen, y la recta $y = 6x$ corta a la parábola donde $x^2 + 9 = 6x$, es decir, $(x - 3)^2 = 0$: un único punto doble, como corresponde a una tangente (lo mismo con $y = -6x$ en $x = -3$). Las dos tangentes son simétricas respecto del eje $Y$, igual que la parábola.