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Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

País Vasco · 2020 · Julio (ordinaria)
Enunciado
Sea π\pi el plano 2x−y+Az=02x - y + Az = 0. Sea rr la recta dada por r≡{4x−3y+4z=−13x−2y+z=−3.r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = -1 \\ 3x - 2y + z = -3. \end{cases}

Hallar AA para que rr y π\pi sean paralelos. Además, obtener el plano perpendicular a rr y que pase por el origen.
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Resultado
  • rr y π\pi son paralelos para A=−2A = -2 (la recta, de director (5,8,1)(5, 8, 1), no está contenida en el plano).
  • Plano perpendicular a rr por el origen: 5x+8y+z=05x + 8y + z = 0.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La recta viene como corte de dos planos; su vector director es perpendicular a los dos normales, así que sale de su producto vectorial.
  • Recta y plano son paralelos cuando el director de la recta es perpendicular al normal del plano (producto escalar nulo) y, además, la recta no está contenida en el plano.
  • Un plano perpendicular a rr tiene como normal el director de rr; si pasa por el origen, su término independiente es cero.
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Desarrollo

Vector director de rr. Con los normales (4,−3,4)(4, -3, 4) y (3,−2,1)(3, -2, 1):d⃗=∣i⃗j⃗k⃗4−343−21∣=((−3)⋅1−4⋅(−2),  4⋅3−4⋅1,  4⋅(−2)−(−3)⋅3)=(5,8,1)\vec d = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \big((-3)\cdot 1 - 4\cdot(-2),\; 4\cdot 3 - 4\cdot 1,\; 4\cdot(-2) - (-3)\cdot 3\big) = (5, 8, 1)Condición de paralelismo. El normal de π\pi es n⃗=(2,−1,A)\vec n = (2, -1, A):d⃗⋅n⃗=5⋅2+8⋅(−1)+1⋅A=2+A=0  ⟹  A=−2\vec d \cdot \vec n = 5\cdot 2 + 8\cdot(-1) + 1\cdot A = 2 + A = 0 \;\Longrightarrow\; A = -2La recta no está contenida en π\pi. Un punto de rr: con z=0z = 0, el sistema 4x−3y=−14x - 3y = -1, 3x−2y=−33x - 2y = -3 da x=−7x = -7, y=−9y = -9, es decir, P=(−7,−9,0)P = (-7, -9, 0). En π:2x−y−2z=0\pi: 2x - y - 2z = 0:2(−7)−(−9)−2⋅0=−5≠02(-7) - (-9) - 2\cdot 0 = -5 \neq 0PP no está en π\pi, así que con A=−2A = -2 la recta es paralela al plano (y no está contenida en él).

Plano perpendicular a rr por el origen. Su normal es d⃗=(5,8,1)\vec d = (5, 8, 1): 5x+8y+z+D=05x + 8y + z + D = 0, y por (0,0,0)(0, 0, 0), D=0D = 0:5x+8y+z=05x + 8y + z = 0
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Consejo

«Director perpendicular al normal» solo garantiza que la recta es paralela o está contenida en el plano. Para afirmar que son paralelos, comprueba con un punto de la recta que no está en el plano: es una línea más y deja el razonamiento completo.
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