Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: DeterminantesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

También trata: Matrices

Enunciado

Sea

M(\alpha)

la matriz dada por

M(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}

.

a) Determinar para qué valores de

\alpha

la matriz no tiene inversa.

b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para

\alpha = 0

, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|M(\alpha)| = 1 - \alpha^2

: no tiene inversa para

\alpha = 1

\alpha = -1

.

b) Para

\alpha = 0

sí existe (

|M| = 1

M(0)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) basta con calcular

|M(\alpha)|

y ver dónde se anula.

En b),

\alpha = 0

no está entre esos valores, así que la inversa existe; se calcula con la fórmula de los adjuntos,

M^{-1} = \dfrac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^t

, y se comprueba que

M\,M^{-1} = I

Desarrollo

a) Determinante. Por Sarrus:

|M(\alpha)| = 1\cdot 1\cdot 1 + \alpha\cdot\alpha\cdot 0 + 1\cdot\alpha\cdot\alpha - \big(1\cdot 1\cdot 0 + \alpha\cdot\alpha\cdot 1 + 1\cdot\alpha\cdot\alpha\big)

|M(\alpha)| = 1 + \alpha^2 - 2\alpha^2 = 1 - \alpha^2

Valores sin inversa.

1 - \alpha^2 = 0 \iff \alpha = 1

\alpha = -1

. Para esos dos valores la matriz es singular y no tiene inversa; para cualquier otro, sí.

b) Existencia. Para

\alpha = 0

|M(0)| = 1 \neq 0

: la inversa existe.

M(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Adjuntos.

A_{ij} = (-1)^{i+j}

por el menor que queda al quitar la fila

i

y la columna

j

A_{11} = 1,\; A_{12} = 0,\; A_{13} = 0,\quad A_{21} = 0,\; A_{22} = 1,\; A_{23} = 0,\quad A_{31} = -1,\; A_{32} = 0,\; A_{33} = 1

(por ejemplo,

A_{31} = (-1)^{4}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1

).

Inversa. Se traspone la adjunta y se divide entre

|M(0)| = 1

M(0)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Consejo

Antes de ponerte a calcular adjuntos, di por qué la inversa existe: « $|M| \neq 0$ ». Es lo que el enunciado pide razonar. Y al acabar multiplica $M\,M^{-1}$ : si no sale la identidad, lo más probable es que hayas olvidado trasponer la adjunta o un signo $(-1)^{i+j}$ .