Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Enunciado

En una empresa el 70 por ciento de sus trabajadoras están satisfechas con su contrato, y entre las satisfechas con su contrato el 80 por ciento gana más de 1000 euros. Entre las no satisfechas solo el 20 por ciento gana más de 1000 euros. Si se elige una trabajadora al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 1000 euros?

b) Si gana más de 1000 euros, ¿cuál es la probabilidad que esté satisfecha con su contrato?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato?

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Resultado

P(G) = 0{,}62

.

b)

P(S \mid G) = \dfrac{28}{31} \approx 0{,}903

.

c)

P(\bar G \cap S) = 0{,}14

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero si la trabajadora está satisfecha o no, y después, condicionado a eso, si gana más de 1000 euros. Un diagrama de árbol lo ordena todo:

a) es una probabilidad total (se suman las dos ramas que acaban en «gana más de 1000»);
b) invierte el condicionamiento: Bayes;
c) es una intersección: el producto de las probabilidades de una sola rama.

Desarrollo

Sucesos.

S

= «está satisfecha con su contrato»,

G

= «gana más de 1000 euros» (

\bar S

\bar G

, sus contrarios). Datos:

P(S) = 0{,}7,\quad P(\bar S) = 0{,}3,\quad P(G \mid S) = 0{,}8,\quad P(G \mid \bar S) = 0{,}2

y por tanto

P(\bar G \mid S) = 0{,}2

P(\bar G \mid \bar S) = 0{,}8

.

Árbol. De la raíz salen

S

(0,7) y

\bar S

(0,3). De

S

salen

G

(0,8) y

\bar G

(0,2); de

\bar S

salen

G

(0,2) y

\bar G

(0,8).

a) Probabilidad total.

P(G) = P(S)\,P(G \mid S) + P(\bar S)\,P(G \mid \bar S) = 0{,}7\cdot 0{,}8 + 0{,}3\cdot 0{,}2 = 0{,}56 + 0{,}06 = 0{,}62

b) Teorema de Bayes.

P(S \mid G) = \frac{P(S)\,P(G \mid S)}{P(G)} = \frac{0{,}56}{0{,}62} = \frac{28}{31} \approx 0{,}9032

c) Intersección. «Gana menos de 1000 euros» lo tomamos como el contrario de «gana más de 1000 euros»,

\bar G

P(\bar G \cap S) = P(S)\,P(\bar G \mid S) = 0{,}7\cdot 0{,}2 = 0{,}14

Consejo

Define los sucesos con letras al principio y dibuja el árbol: el corrector valora el planteamiento tanto como el número. No confundas $P(G \mid S)$ (dato, 0,8) con $P(S \mid G)$ (lo que pide el apartado b) y $P(\bar G \cap S)$ (una rama entera, 0,14) con $P(\bar G \mid S)$ (0,2).