Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Puntos de corte.$$x^2 - 2x + 1 = -x^2 + 5 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 2x - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1 \text{ o } x = 2$$con $f(-1) = 4$ y $f(2) = 1$: las parábolas se cortan en $(-1, 4)$ y $(2, 1)$.

Dibujo. $f(x) = (x - 1)^2$ es una parábola con vértice (mínimo) en $(1, 0)$, que abre hacia arriba y corta al eje $Y$ en $(0, 1)$. $g(x) = 5 - x^2$ tiene el vértice (máximo) en $(0, 5)$, abre hacia abajo y corta al eje $X$ en $x = \pm\sqrt 5 \approx \pm 2{,}24$. La región es el «huso» comprendido entre $x = -1$ y $x = 2$, limitado por arriba por $g$ y por abajo por $f$, con las esquinas en $(-1, 4)$ y $(2, 1)$.

Qué función va por encima. En un punto intermedio, $x = 0$: $g(0) = 5 > f(0) = 1$. Como no se cortan dentro de $(-1, 2)$, en todo el intervalo $g \geq f$.

Integral del área.$$g(x) - f(x) = -x^2 + 5 - (x^2 - 2x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$$$$\text{Área} = \int_{-1}^{2} \left(-2x^2 + 2x + 4\right) dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}$$Regla de Barrow.$$\left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9$$