Matemáticas IIFácil2,5 pts

Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

País Vasco · 2020 · Julio (ordinaria)
Enunciado
Dada la función f(x)=ax3+bx2+cf(x) = ax^3 + bx^2 + c, obtener los valores de aa, bb y cc para que su gráfica pase por (0,2)(0, 2) y tenga un extremo en (1,−1)(1, -1). ¿Tiene ff más extremos?
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Resultado
a=6a = 6, b=−9b = -9, c=2c = 2, es decir, f(x)=6x3−9x2+2f(x) = 6x^3 - 9x^2 + 2. Además del mínimo relativo en (1,−1)(1, -1), ff tiene otro extremo: un máximo relativo en (0,2)(0, 2).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Hay tres incógnitas, así que buscamos tres ecuaciones en las condiciones del enunciado:
  • pasar por (0,2)(0, 2): f(0)=2f(0) = 2;
  • pasar por (1,−1)(1, -1): f(1)=−1f(1) = -1;
  • tener un extremo en x=1x = 1 (es derivable): f′(1)=0f'(1) = 0.
Con la función ya fijada, los demás extremos salen de los ceros de f′f', y la derivada segunda dice si cada uno es máximo o mínimo.
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Desarrollo

Derivada. f′(x)=3ax2+2bxf'(x) = 3ax^2 + 2bx.

Las tres condiciones.f(0)=c=2f(0) = c = 2f(1)=a+b+c=−1  ⟹  a+b=−3f(1) = a + b + c = -1 \;\Longrightarrow\; a + b = -3f′(1)=3a+2b=0f'(1) = 3a + 2b = 0Resolución. De la segunda, a=−3−ba = -3 - b; en la tercera, 3(−3−b)+2b=0⇒−9−b=0⇒b=−93(-3 - b) + 2b = 0 \Rightarrow -9 - b = 0 \Rightarrow b = -9, y entonces a=6a = 6.f(x)=6x3−9x2+2f(x) = 6x^3 - 9x^2 + 2Puntos críticos. f′(x)=18x2−18x=18x(x−1)=0  ⟺  x=0f'(x) = 18x^2 - 18x = 18x(x - 1) = 0 \iff x = 0 o x=1x = 1.

Clasificación. f′′(x)=36x−18f''(x) = 36x - 18:
  • f′′(1)=18>0f''(1) = 18 > 0: en (1,−1)(1, -1) hay un mínimo relativo (el extremo del enunciado).
  • f′′(0)=−18<0f''(0) = -18 < 0: en x=0x = 0 hay un máximo relativo, con f(0)=2f(0) = 2.
El signo de f′f' lo confirma: positiva en (−∞,0)(-\infty, 0), negativa en (0,1)(0, 1) y positiva en (1,+∞)(1, +\infty).

¿Más extremos? Sí, exactamente uno más: el máximo relativo en (0,2)(0, 2). No hay otros, porque f′f' solo se anula en 00 y en 11.
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Consejo

Escribe cada condición del enunciado como una ecuación y di de dónde sale («tener un extremo en x=1x = 1 ⇒ f′(1)=0f'(1) = 0»). Un error frecuente es olvidar que el extremo también es un punto de la gráfica y quedarse sin la ecuación f(1)=−1f(1) = -1. Para la segunda pregunta no basta con dar x=0x = 0: di si es máximo o mínimo y justifícalo.
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