Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

País Vasco · 2020 · Julio (ordinaria)
Enunciado
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (−1,2,3)(-1, 2, 3) y es paralelo a los vectores v⃗=(−1,−2,−3)\vec v = (-1, -2, -3) y w⃗=(1,3,5)\vec w = (1, 3, 5).

b) Hallar el valor de AA para que el plano calculado en el apartado anterior y Ax−y+5z=8Ax - y + 5z = 8 sean perpendiculares.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) π:  x−2y+z+2=0\pi:\; x - 2y + z + 2 = 0 (equivalente a −x+2y−z−2=0-x + 2y - z - 2 = 0).

b) A=−7A = -7.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Un plano paralelo a dos vectores (no proporcionales) los tiene como vectores directores, así que su vector normal es perpendicular a los dos: el producto vectorial v⃗×w⃗\vec v \times \vec w. Con el normal y un punto se escribe la ecuación general.

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar es cero. De ahí sale AA.
2

Desarrollo

a) Vector normal. v⃗\vec v y w⃗\vec w no son proporcionales, así que generan el plano.n⃗=v⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗−1−2−3135∣=((−2)⋅5−(−3)⋅3,  (−3)⋅1−(−1)⋅5,  (−1)⋅3−(−2)⋅1)=(−1,2,−1)\vec n = \vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = \big((-2)\cdot 5 - (-3)\cdot 3,\; (-3)\cdot 1 - (-1)\cdot 5,\; (-1)\cdot 3 - (-2)\cdot 1\big) = (-1, 2, -1)Podemos tomar el proporcional (1,−2,1)(1, -2, 1).

Ecuación del plano. Por el punto (−1,2,3)(-1, 2, 3):1 (x+1)−2 (y−2)+1 (z−3)=0  ⟹  π:  x−2y+z+2=01\,(x + 1) - 2\,(y - 2) + 1\,(z - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi:\; x - 2y + z + 2 = 0Comprobación. El punto: −1−4+3+2=0-1 - 4 + 3 + 2 = 0. Los vectores: (1,−2,1)⋅(−1,−2,−3)=−1+4−3=0(1, -2, 1)\cdot(-1, -2, -3) = -1 + 4 - 3 = 0 y (1,−2,1)⋅(1,3,5)=1−6+5=0(1, -2, 1)\cdot(1, 3, 5) = 1 - 6 + 5 = 0.

b) Condición de perpendicularidad. El normal del segundo plano es n⃗′=(A,−1,5)\vec n' = (A, -1, 5). Los planos son perpendiculares si n⃗⋅n⃗′=0\vec n \cdot \vec n' = 0:(1,−2,1)⋅(A,−1,5)=A+2+5=0  ⟹  A=−7(1, -2, 1)\cdot(A, -1, 5) = A + 2 + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; A = -7
3

Consejo

No confundas las condiciones: planos perpendiculares ⇒ normales perpendiculares (producto escalar nulo); planos paralelos ⇒ normales proporcionales. Y comprueba siempre que el punto dado cumple la ecuación del plano que has obtenido: es la forma más rápida de pillar un error de signo.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano π≡2x−y+2z−3=0\pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0 y la recta r≡x−12=y1=z−2m−2r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{m - 2}…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Rectas y planos
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera la recta r≡{x=−2λy=−1+2λz=3+2λy el planoπ≡x−2y+z−3=0.r \equiv \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases} \qquad\text{y el plano}\qquad \pi \equiv x - 2y + z - 3 = 0.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioRectas y planos
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos P(4,−2,3)P(4,-2,3) y Q(6,2,1)Q(6,2,1). a) [1 punto] Halla la ecuación…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 1Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera los planos π1≡2x−y−z=7\pi_1 \equiv 2x - y - z = 7,   π2≡x−2y+z=3\;\pi_2 \equiv x - 2y + z = 3…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Geometría →