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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (ordinaria)

Enunciado

Discutir el sistema

S(a)

en función de

a

, siendo

S(a) = \begin{cases} ax - y + 2z = 2 \\ x - 2y - z = 1 \\ x + 2y + az = 3. \end{cases}

Resolver en función de

a

, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.

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Resultado

Si $a \neq 3$ y $a \neq -3/2$ : compatible determinado, con $x = \dfrac{3a - 23}{(2a + 3)(a - 3)}$ , $y = \dfrac{-(a^2 + a + 2)}{(2a + 3)(a - 3)}$ , $z = \dfrac{8a - 10}{(2a + 3)(a - 3)}$ .
Si $a = 3$ o $a = -3/2$ : $\operatorname{rg} A = 2$ y $\operatorname{rg} A^* = 3$ , incompatible.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema es cuadrado (tres ecuaciones y tres incógnitas), así que todo empieza por el determinante de la matriz de coeficientes:

donde no se anula, el rango de la matriz y el de la ampliada valen 3 y, por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado; ahí mismo se puede aplicar Cramer;
en los valores de $a$ que lo anulan hay que mirar los rangos uno a uno: si la ampliada sube a 3, el sistema es incompatible.

Cramer pide cuatro determinantes (

|A|

|A_x|

|A_y|

|A_z|

); conviene calcularlos con cuidado, porque cualquier signo mal puesto arrastra la solución entera.

Desarrollo

Matrices del sistema.

A = \begin{pmatrix} a & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 3 \end{array}\right)

Determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollando por la primera fila:

|A| = a\big((-2)a - (-1)\cdot 2\big) - (-1)\big(1\cdot a - (-1)\cdot 1\big) + 2\big(1\cdot 2 - (-2)\cdot 1\big)

|A| = a(-2a + 2) + (a + 1) + 8 = -2a^2 + 3a + 9

Valores que lo anulan.

2a^2 - 3a - 9 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4} = \dfrac{3 \pm 9}{4}

, es decir,

a = 3

a = -\dfrac{3}{2}

. Así:

|A| = -(2a + 3)(a - 3)

Caso $a \neq 3$ y $a \neq -3/2$ .

|A| \neq 0

, luego

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 3$ . El menor

\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0

(filas 2 y 3, columnas 1 y 2), así que

\operatorname{rg} A = 2

. En la ampliada orlamos con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3(-6 - 2) + 1(3 - 1) + 2(2 + 2) = -24 + 2 + 8 = -14 \neq 0

luego

\operatorname{rg} A^* = 3 \neq \operatorname{rg} A

: sistema incompatible.

Caso $a = -3/2$ . El mismo menor de orden 2 vale 4, así que

\operatorname{rg} A = 2

. Orlando igual:

\begin{vmatrix} -\tfrac{3}{2} & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -\tfrac{3}{2}(-8) + 1(3 - 1) + 2(2 + 2) = 12 + 2 + 8 = 22 \neq 0

luego

\operatorname{rg} A^* = 3

: sistema incompatible.

Resolución por Cramer ( $a \neq 3$ , $a \neq -3/2$ ). Se sustituye cada columna por la de términos independientes:

|A_x| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & 2 & a \end{vmatrix} = 2(-2a + 2) + (a + 3) + 2(2 + 6) = -3a + 23

|A_y| = \begin{vmatrix} a & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & a \end{vmatrix} = a(a + 3) - 2(a + 1) + 2(3 - 1) = a^2 + a + 2

|A_z| = \begin{vmatrix} a & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = a(-6 - 2) + (3 - 1) + 2(2 + 2) = -8a + 10

Dividiendo entre

|A| = -(2a + 3)(a - 3)

x = \frac{3a - 23}{(2a + 3)(a - 3)}, \qquad y = \frac{-(a^2 + a + 2)}{(2a + 3)(a - 3)}, \qquad z = \frac{8a - 10}{(2a + 3)(a - 3)}

Comprobación con $a = 0$ . Sale

x = \tfrac{23}{9}

y = \tfrac{2}{9}

z = \tfrac{10}{9}

, y en el sistema:

-\tfrac{2}{9} + \tfrac{20}{9} = 2

\tfrac{23}{9} - \tfrac{4}{9} - \tfrac{10}{9} = 1

\tfrac{23}{9} + \tfrac{4}{9} = 3

. Cuadra.

Consejo

El corrector reparte los puntos en tres trozos: el determinante con la discusión general, los dos casos especiales y la solución por Cramer. No basta con decir «en $a = 3$ el determinante es cero»: hay que calcular los rangos y concluir con Rouché-Frobenius. Y comprueba la solución con un valor sencillo de $a$ (por ejemplo, $a = 0$ ): detecta en un minuto un signo mal puesto en un determinante.