Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

En un instituto el 40 por ciento de sus alumnos tiene el cabello castaño, el 35 por ciento tiene los ojos azules y el 15 por ciento tiene el cabello castaño y los ojos azules. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules?

b) Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(A \mid C) = 3/8 = 0{,}375

.

b)

P(\bar C \mid A) = 4/7 \approx 0{,}571

.

c)

P(\bar C \cap \bar A) = 0{,}40

.

d)

P(C \cup A) = 0{,}60

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

C

= «tener el cabello castaño» y

A

= «tener los ojos azules». Los datos son

P(C) = 0{,}40

P(A) = 0{,}35

P(C \cap A) = 0{,}15

. Lo más cómodo es completar una tabla de doble entrada (en porcentajes) y leer de ella cada probabilidad; las condicionadas, dividiendo por el total de la fila o columna que se da por sabida.

Desarrollo

Tabla de doble entrada (porcentaje de alumnos):

	$A$ (ojos azules)	$\bar A$	Total
$C$ (castaño)	15	25	40
$\bar C$	20	40	60
Total	35	65	100

a) Ojos azules sabiendo que es castaño.

P(A \mid C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}15}{0{,}40} = \frac{3}{8} = 0{,}375

b) No castaño sabiendo que tiene los ojos azules.

P(\bar C \cap A) = P(A) - P(C \cap A) = 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}20

P(\bar C \mid A) = \frac{P(\bar C \cap A)}{P(A)} = \frac{0{,}20}{0{,}35} = \frac{4}{7} \approx 0{,}5714

c) Ni castaño ni con ojos azules. Por las leyes de De Morgan,

\bar C \cap \bar A = \overline{C \cup A}

, y la unión vale

P(C \cup A) = P(C) + P(A) - P(C \cap A) = 0{,}40 + 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}60

P(\bar C \cap \bar A) = 1 - P(C \cup A) = 1 - 0{,}60 = 0{,}40

(es la casilla

\bar C

\bar A

de la tabla: 40 %).

d) Castaño o con ojos azules. Por la fórmula de la unión:

P(C \cup A) = P(C) + P(A) - P(C \cap A) = 0{,}40 + 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}60

Consejo

Define los sucesos con letras antes de empezar y escribe cada probabilidad con su notación ( $P(A \mid C)$ , $P(C \cup A)$ ): el corrector ve así que sabes qué calculas. En las condicionadas, el denominador es siempre la probabilidad de lo que ya se sabe. Y en c) no restes $1 - 0{,}15$ : «ni una cosa ni la otra» es el contrario de la unión, no de la intersección.