Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

El método. Si $u$ y $v$ son funciones derivables, $(uv)' = u'v + uv'$. Integrando los dos miembros y despejando:$$\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$$Se usa para integrales de un producto $\int f(x)\,g(x)\,dx$: llamamos $u$ a un factor y $dv$ al resto, derivamos $u$ (obtenemos $du$) e integramos $dv$ (obtenemos $v$). Conviene que $u$ se simplifique al derivar y que $dv$ sea fácil de integrar, para que $\int v\,du$ sea más sencilla que la de partida. Es el método típico de polinomio por exponencial, por seno o coseno, o por logaritmo.

Elección.$$u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \cos(3x)\,dx \;\Rightarrow\; v = \int \cos(3x)\,dx = \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3}$$Aplicación.$$\int x\cos(3x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} - \int \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3}\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} - \frac13\left(-\frac{\cos(3x)}{3}\right) + C$$$$\int x\cos(3x)\,dx = \frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} + \frac{\cos(3x)}{9} + C$$Comprobación (derivando).$$\frac{d}{dx}\left[\frac{x\operatorname{sen}(3x)}{3} + \frac{\cos(3x)}{9}\right] = \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3} + x\cos(3x) - \frac{3\operatorname{sen}(3x)}{9} = x\cos(3x) \;✓$$