Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f(x) = x^2 e^{2x}

. Encontrar sus extremos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

f

crece en

(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)

y decrece en

(-1, 0)

. Máximo relativo en

\left(-1, \tfrac{1}{e^2}\right)

; mínimo relativo (y absoluto) en

(0, 0)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función está definida y es derivable en todo

\mathbb{R}

. Derivamos (producto y regla de la cadena), sacamos factor común para tener

f'

factorizada, hallamos sus ceros y estudiamos su signo en los intervalos que marcan. Donde

f'

cambia de signo hay un extremo.

Desarrollo

Derivada. Por la regla del producto, con

(e^{2x})' = 2e^{2x}

f'(x) = 2x\,e^{2x} + x^2\cdot 2e^{2x} = 2x\,e^{2x}(1 + x)

Puntos críticos. Como

e^{2x} > 0

siempre,

f'(x) = 0 \iff x(1 + x) = 0 \iff x = 0

x = -1

.

Signo de $f'$ . El signo es el de

x(x + 1)

Intervalo	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, +\infty)$
$x$	$-$	$-$	$+$
$x + 1$	$-$	$+$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

Extremos.

En $x = -1$ , $f'$ pasa de $+$ a $-$ : máximo relativo, $f(-1) = (-1)^2 e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135$ .
En $x = 0$ , $f'$ pasa de $-$ a $+$ : mínimo relativo, $f(0) = 0$ . Como $f(x) = x^2 e^{2x} \geq 0$ para todo $x$ , este mínimo es además absoluto.

Consejo

Saca siempre factor común en la derivada antes de igualar a cero: con $2x\,e^{2x}(1 + x)$ los ceros y el signo se leen a la vista. Recuerda decir que $e^{2x}$ nunca se anula ni cambia de signo, y da los extremos como puntos (las dos coordenadas), no solo la $x$ .