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Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

País Vasco · 2020 · Julio (extraordinaria)
Enunciado
Hallar el punto QQ, simétrico de P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) respecto al plano de ecuación: x+y+z=0x + y + z = 0, explicando los pasos seguidos para su cálculo.
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Resultado
Pie de la perpendicular: M=(−1,0,1)M = (-1, 0, 1). Simétrico: Q=(−3,−2,−1)Q = (-3, -2, -1).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El simétrico QQ está «al otro lado del espejo»: en la recta perpendicular al plano que pasa por PP, y a la misma distancia del plano que PP. Por eso:
  1. trazamos la recta por PP con el normal del plano como director;
  2. la cortamos con el plano: ese punto MM es la proyección de PP y el punto medio de PP y QQ;
  3. despejamos Q=2M−PQ = 2M - P.
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Desarrollo

Paso 1: recta perpendicular al plano por PP. El normal del plano es n⃗=(1,1,1)\vec n = (1, 1, 1), que usamos como director:s≡{x=1+ty=2+tz=3+ts \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}Paso 2: intersección con el plano. Sustituimos en x+y+z=0x + y + z = 0:(1+t)+(2+t)+(3+t)=0  ⟹  6+3t=0  ⟹  t=−2(1 + t) + (2 + t) + (3 + t) = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 3t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2El pie de la perpendicular es M=(1−2, 2−2, 3−2)=(−1,0,1)M = (1 - 2,\ 2 - 2,\ 3 - 2) = (-1, 0, 1).

Paso 3: el simétrico. MM es el punto medio de PP y QQ, así que P+Q2=M\dfrac{P + Q}{2} = M:Q=2M−P=(−2−1, 0−2, 2−3)=(−3,−2,−1)Q = 2M - P = (-2 - 1,\ 0 - 2,\ 2 - 3) = (-3, -2, -1)Equivale a recorrer la recta hasta t=2⋅(−2)=−4t = 2\cdot(-2) = -4: (1−4, 2−4, 3−4)(1 - 4,\ 2 - 4,\ 3 - 4).

Comprobación. PQ→=(−4,−4,−4)\overrightarrow{PQ} = (-4, -4, -4) es paralelo a n⃗\vec n, y las distancias coinciden: d(P,π)=∣1+2+3∣3=63d(P, \pi) = \dfrac{|1 + 2 + 3|}{\sqrt 3} = \dfrac{6}{\sqrt 3} y d(Q,π)=∣−3−2−1∣3=63d(Q, \pi) = \dfrac{|-3 - 2 - 1|}{\sqrt 3} = \dfrac{6}{\sqrt 3} ✓.
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Consejo

El enunciado pide explicar los pasos, y los criterios puntúan cada uno: la recta perpendicular (1 punto), el corte con el plano y el punto simétrico. Escribe una frase antes de cada cálculo. Y no des MM como respuesta: es solo el punto medio, el simétrico está el doble de lejos.
Paso 1 de 3
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