Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Dada la matriz

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

, calcular razonadamente

M^{2020}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

M^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}

, luego

M^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2020 & 1 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Nadie multiplica una matriz 2020 veces: se calculan las primeras potencias, se adivina el patrón y se demuestra que se cumple siempre (inducción). Aquí el patrón es muy limpio: el elemento de abajo a la izquierda va contando

1, 2, 3, \dots

Desarrollo

Primeras potencias.

M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad M^3 = M^2 M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

M^4 = M^3 M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}

Conjetura.

M^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}

para todo

n \geq 1

.

Demostración por inducción. Para

n = 1

es la propia

M

. Si se cumple para

n

, entonces

M^{n+1} = M^n M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n + 1 & 1 \end{pmatrix}

así que también se cumple para

n + 1

.

Otra forma de verlo.

M = I + N

con

N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

N^2 = 0

. Como

I

N

conmutan, por el binomio de Newton

M^n = I + nN

, que es lo mismo.

Potencia pedida. Con

n = 2020

M^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2020 & 1 \end{pmatrix}

Consejo

«Razonadamente» significa que no basta con escribir $M^{2020}$ tras ver dos o tres potencias: la mitad de la nota es justificar el patrón. Escribe la fórmula general de $M^n$ y comprueba que $M^n \cdot M$ da la de $n + 1$ ; con eso queda demostrado.