Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal N(10;\ 0{,}1). Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9{,}8 y 10{,}1. Calcular: a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso. b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos? (Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal

N(10;\ 0{,}1)

. Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre

9{,}8

10{,}1

. Calcular:

a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.

b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

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Resultado

P(\text{defectuoso}) = 1 - P(-2 < Z < 1) = 1 - 0{,}8185 = 0{,}1815

.

b)

1500\cdot 0{,}1815 = 272{,}25

: unos 272 recipientes defectuosos (o 273 según el criterio de redondeo).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sea

X

la capacidad,

X \sim N(10;\ 0{,}1)

(media 10 y desviación típica

0{,}1

). Es más cómodo calcular la probabilidad de lo contrario, que la capacidad esté entre

9{,}8

10{,}1

, tipificando y usando la tabla; el defectuoso es el complementario. Para b), el número esperado es

n\cdot p

Desarrollo

a) Tipificación. Con

Z = \dfrac{X - 10}{0{,}1} \sim N(0, 1)

z_1 = \frac{9{,}8 - 10}{0{,}1} = -2, \qquad z_2 = \frac{10{,}1 - 10}{0{,}1} = 1

Recipiente correcto.

P(9{,}8 < X < 10{,}1) = P(-2 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -2) = P(Z < 1) - \big[1 - P(Z < 2)\big]

= 0{,}8413 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}8413 - 0{,}0228 = 0{,}8185

Recipiente defectuoso.

P(\text{defectuoso}) = 1 - 0{,}8185 = 0{,}1815

b) Número esperado. Cada recipiente es defectuoso con probabilidad

p = 0{,}1815

, de forma independiente; el número de defectuosos entre 1500 es una binomial

B(1500;\ 0{,}1815)

, cuya media es

E = n\,p = 1500\cdot 0{,}1815 = 272{,}25

Se esperan unos 272 recipientes defectuosos (o 273 si se redondea por exceso).

Consejo

Lee bien la notación $N(10;\ 0{,}1)$ : el segundo número es la desviación típica, no la varianza. Tipifica los dos extremos por separado y usa la simetría para el negativo: $P(Z < -2) = 1 - P(Z < 2)$ . Fíjate en que el intervalo no es simétrico respecto de la media ( $-2$ y $1$ ), así que no vale el atajo $2P(Z < z) - 1$ .

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