Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Puntos de corte.$$3 - x^2 = 2x \;\Longrightarrow\; x^2 + 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x + 3)(x - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -3,\ x = 1$$Los puntos son $(-3, -6)$ y $(1, 2)$.

Representación. La parábola $y = 3 - x^2$ abre hacia abajo, con vértice en $(0, 3)$ y cortes con el eje $X$ en $x = \pm\sqrt 3$. La recta $y = 2x$ pasa por el origen con pendiente 2. Entre $x = -3$ y $x = 1$ la parábola va por encima: en $x = 0$ vale 3 y la recta, 0. La región es el «gajo» que queda entre el arco de parábola (arriba) y el segmento de recta (abajo) que une $(-3, -6)$ con $(1, 2)$.

Área.$$\text{Área} = \int_{-3}^{1}\big[(3 - x^2) - 2x\big]\,dx = \left[3x - \frac{x^3}{3} - x^2\right]_{-3}^{1}$$$$= \left(3 - \frac13 - 1\right) - \left(-9 + 9 - 9\right) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{32}{3}$$Comprobación. Para una parábola y una recta que se cortan en $x_1$ y $x_2$, el área es $\dfrac{|a|\,(x_2 - x_1)^3}{6}$, con $a$ el coeficiente de $x^2$ de la diferencia: $\dfrac{1\cdot 4^3}{6} = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}$ ✓.