Sea f la función definida como sigue: f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x, & x \leq 2, \\ x^2 - bx - 4, & x > 2. \end{cases} Calcular a y b razonadamente, sabiendo que f es derivable en toda la recta real.

a = 2 y b = -7: f es continua en x = 2 (f(2) = 14) y f'(2) = 11 por los dos lados.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Sea

f

la función definida como sigue:

f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x, & x \leq 2, \\ x^2 - bx - 4, & x > 2. \end{cases}

Calcular

a

b

razonadamente, sabiendo que

f

es derivable en toda la recta real.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a = 2

b = -7

f

es continua en

x = 2

(

f(2) = 14

) y

f'(2) = 11

por los dos lados.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo es un polinomio, derivable en su intervalo. El único punto dudoso es la frontera $x = 2$ . Allí exigimos dos cosas, porque derivable implica continua:

continuidad: los límites laterales coinciden con $f(2)$ ;
derivabilidad: las derivadas laterales coinciden.

Cada condición da una ecuación en

a

b

: un sistema

2\times 2

Desarrollo

Continuidad en $x = 2$ .

\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 4a + 6, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 - 2b - 4 = -2b

4a + 6 = -2b \;\Longrightarrow\; 2a + b = -3

Derivabilidad en $x = 2$ . Fuera de

x = 2

f'(x) = \begin{cases} 2ax + 3, & x < 2, \\ 2x - b, & x > 2, \end{cases} \qquad f'(2^-) = 4a + 3, \quad f'(2^+) = 4 - b

4a + 3 = 4 - b \;\Longrightarrow\; 4a + b = 1

Sistema. Restando la primera ecuación a la segunda:

2a = 4

, luego

a = 2

, y

b = -3 - 2a = -7

.

Comprobación. Con

a = 2

b = -7

f(2) = 8 + 6 = 14

y el trozo derecho da

4 + 14 - 4 = 14

✓;

f'(2^-) = 8 + 3 = 11

f'(2^+) = 4 + 7 = 11

✓. La función queda

f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 3x, & x \leq 2, \\ x^2 + 7x - 4, & x > 2. \end{cases}

Consejo

Los criterios reparten un punto a la continuidad y otro a la derivabilidad: escribe las dos condiciones por separado y di por qué hace falta la continuidad (una función no continua no puede ser derivable). Igualar solo las derivadas laterales sin haber exigido la continuidad es el fallo típico, y deja el sistema incompleto.

Paso 1 de 3

¿Has terminado el problema?

¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.

Sigue practicando

Derivadas y aplicaciones

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera la función