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Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Dada la recta

r \equiv \begin{cases} 3x + y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1, \end{cases} \qquad \text{y el plano} \qquad \pi \equiv 3x + (\alpha + 1)(y + 1) + \alpha z = 1,

a) hallar

\alpha

para que la recta y el plano sean paralelos,

b) determinar si el punto

P = (1, 1, 2)

pertenece al plano hallado en a).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\alpha = \dfrac{1}{13}

; el plano es

39x + 14y + z + 1 = 0

r

es paralela a él (no contenida).

b)

P = (1, 1, 2)

no pertenece al plano: da

56 \neq 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano (producto escalar nulo) y, además, la recta no está contenida en él. El director de

r

, dada como corte de dos planos, es el producto vectorial de sus dos normales. Con el valor de

\alpha

escribimos el plano y sustituimos

P

Desarrollo

a) Vector director de $r$ . Es perpendicular a los normales

(3, 1, -1)

(2, 1, 4)

\vec d_r = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 4 - (-1)\cdot 1,\; (-1)\cdot 2 - 3\cdot 4,\; 3\cdot 1 - 1\cdot 2\big) = (5, -14, 1)

Vector normal de $\pi$ . Desarrollando,

\pi \equiv 3x + (\alpha + 1)\,y + \alpha z + (\alpha + 1) - 1 = 0

, así que

\vec n_\pi = (3, \alpha + 1, \alpha)

.

Condición de paralelismo.

\vec d_r \perp \vec n_\pi

\vec d_r \cdot \vec n_\pi = 15 - 14(\alpha + 1) + \alpha = 1 - 13\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = \frac{1}{13}

La recta no está contenida en el plano. Un punto de

r

: con

z = 0

3x + y = 2

2x + y = 1

dan

x = 1

y = -1

; es

R = (1, -1, 0)

. En

\pi

con

\alpha = \tfrac{1}{13}

3\cdot 1 + \tfrac{14}{13}\,(-1 + 1) + \tfrac{1}{13}\cdot 0 = 3 \neq 1

R \notin \pi

, así que la recta es paralela al plano (y no está contenida en él).

El plano hallado.

\pi \equiv 3x + \tfrac{14}{13}(y + 1) + \tfrac{1}{13}z = 1

; multiplicando por 13:

39x + 14y + z + 1 = 0

.

b) ¿Está $P$ en el plano? Sustituimos

P = (1, 1, 2)

39\cdot 1 + 14\cdot 1 + 2 + 1 = 56 \neq 0

(o, con la ecuación original,

3 + \tfrac{14}{13}\cdot 2 + \tfrac{2}{13} = 3 + \tfrac{30}{13} = \tfrac{69}{13} \neq 1

P

no pertenece al plano.

Consejo

Los criterios dan un punto entero a sacar bien los dos vectores: el director de una recta en implícitas sale del producto vectorial de los normales, y el normal de $\pi$ se lee después de desarrollar el paréntesis $(\alpha + 1)(y + 1)$ . Si además compruebas que un punto de la recta no está en el plano, distingues «paralela» de «contenida», que es lo que un corrector exigente echa en falta.