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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2020 · Julio (extraordinaria)

Enunciado

Discutir, en función de

A

, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible:

S \equiv \begin{cases} x + y + z = 2A, \\ 2x + 3y + 4z = 2, \\ 4x + 4y + Az = 4A. \end{cases}

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Resultado

$A \neq 4$ : compatible determinado, con $x = \dfrac{6A^2 - 30A + 8}{A - 4}$ , $y = \dfrac{-4A^2 + 26A - 8}{A - 4}$ , $z = \dfrac{-4A}{A - 4}$ .
$A = 4$ : $\operatorname{rg} M = 2 \neq \operatorname{rg} M^{*} = 3$ , incompatible.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema es cuadrado (

3\times 3

), así que la llave es el determinante de la matriz de coeficientes. Donde no se anula, el rango es 3 (igual al de la ampliada y al número de incógnitas): compatible determinado, y se resuelve por Cramer dejando la solución en función de

A

. Donde se anula, hay que mirar a mano los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada (Rouché-Frobenius).

Desarrollo

Matrices del sistema.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & A \end{pmatrix}, \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2A \\ 2 & 3 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & A & 4A \end{array}\right)

Determinante de coeficientes (desarrollando por la primera fila):

|M| = 1\,(3A - 16) - 1\,(2A - 16) + 1\,(8 - 12) = 3A - 16 - 2A + 16 - 4 = A - 4

Se anula solo para

A = 4

.

Caso $A \neq 4$ .

|M| \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^{*} = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $A = 4$ . La matriz de coeficientes tiene la tercera fila

(4, 4, 4) = 4\cdot(1, 1, 1)

, y el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \neq 0

, así que

\operatorname{rg} M = 2

. En la ampliada (términos independientes

8,\ 2,\ 16

) orlamos ese menor con la columna de los términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 2 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & 16 \end{vmatrix} = 1\,(48 - 8) - 1\,(32 - 8) + 8\,(8 - 12) = 40 - 24 - 32 = -16 \neq 0

Luego

\operatorname{rg} M^{*} = 3 \neq 2

: sistema incompatible. Se ve también directamente: la tercera ecuación sería

4x + 4y + 4z = 16

, es decir,

x + y + z = 4

, que contradice la primera,

x + y + z = 8

.

Resolución por Cramer ( $A \neq 4$ ).

\Delta_x = \begin{vmatrix} 2A & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4A & 4 & A \end{vmatrix} = 2A(3A - 16) - 1\,(2A - 16A) + 1\,(8 - 12A) = 6A^2 - 30A + 8

\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2A & 1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & 4A & A \end{vmatrix} = 1\,(2A - 16A) - 2A\,(2A - 16) + 1\,(8A - 8) = -4A^2 + 26A - 8

\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2A \\ 2 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & 4A \end{vmatrix} = 1\,(12A - 8) - 1\,(8A - 8) + 2A\,(8 - 12) = -4A

Por tanto

x = \frac{6A^2 - 30A + 8}{A - 4}, \qquad y = \frac{-4A^2 + 26A - 8}{A - 4}, \qquad z = \frac{-4A}{A - 4}

Comprobación. Sumando:

x + y + z = \dfrac{6A^2 - 30A + 8 - 4A^2 + 26A - 8 - 4A}{A - 4} = \dfrac{2A^2 - 8A}{A - 4} = 2A

✓. Para

A = 0

sale

(x, y, z) = (-2, 2, 0)

, que cumple

0 = 0

-4 + 6 = 2

-8 + 8 = 0

✓.

Consejo

El corrector reparte el ejercicio en tres trozos: el determinante con el caso en que no se anula, el caso $A = 4$ y la solución. En el caso crítico no basta con decir «el determinante es cero»: calcula los dos rangos y nombra el teorema de Rouché-Frobenius. Y comprueba la solución sustituyendo un valor sencillo de $A$ : un signo cambiado en un menor se detecta enseguida. (Nota: en la plantilla oficial de la UPV/EHU figura erróneamente $-6A^2 - 30A + 8$ en el numerador de $x$ , arrastrando un signo menos en el término cuadrático).