Rectas y planos

Recta $r$ en paramétricas. Director:$$\vec v_r = (1, 0, -1)\times(1, 2, -1) = (0 + 2,\ -1 + 1,\ 2 - 0) = (2, 0, 2) \;\parallel\; (1, 0, 1)$$Un punto: con $x = z$, la segunda ecuación da $2y = 4$, $y = 2$; por ejemplo $P_r = (0, 2, 0)$. Así$$r \equiv (t,\ 2,\ t), \qquad s \equiv \left(\tfrac{1}{4} - a,\ \tfrac{1}{4} + a,\ \tfrac{1}{2}\right), \quad \vec v_s = (-1, 1, 0)$$a) $\vec v_r = (1, 0, 1)$ y $\vec v_s = (-1, 1, 0)$ no son proporcionales: las rectas no son paralelas. Producto mixto con $\overrightarrow{P_rA} = \left(\frac{1}{4}, -\frac{7}{4}, \frac{1}{2}\right)$:$$\begin{vmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{7}{4} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{4}(0 - 1) + \frac{7}{4}(0 + 1) + \frac{1}{2}(1 - 0) = -\frac{1}{4} + \frac{7}{4} + \frac{1}{2} = 2 \neq 0$$Los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan.

b) Vector perpendicular a las dos:$$\vec w = \vec v_r\times\vec v_s = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1,\ -1,\ 1)$$El plano contiene a $r$ (punto $P_r = (0, 2, 0)$, vector $\vec v_r$) y a $\vec w$:$$\begin{vmatrix} x & y - 2 & z \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = x(0 + 1) - (y - 2)(1 + 1) + z(-1 - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_1 \equiv x - 2y - z + 4 = 0$$Comprobación: los puntos de $r$, $(t, 2, t)$, cumplen $t - 4 - t + 4 = 0$ ✓, y $\vec w\cdot(1, -2, -1) = -1 + 2 - 1 = 0$ ✓.

c) Plano que contiene a $s$ (punto $A$, vector $\vec v_s$) y a $\vec w$:$$\begin{vmatrix} x - \frac{1}{4} & y - \frac{1}{4} & z - \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \left(x - \tfrac{1}{4}\right) + \left(y - \tfrac{1}{4}\right) + 2\left(z - \tfrac{1}{2}\right) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_2 \equiv x + y + 2z - \frac{3}{2} = 0$$La perpendicular común es la intersección de los dos planos:$$p \equiv \left\{\begin{array}{l} x - 2y - z + 4 = 0 \\ 2x + 2y + 4z - 3 = 0 \end{array}\right.$$En forma paramétrica. Busco los pies: $R = (t, 2, t) \in r$ y $S = \left(\frac{1}{4} - a, \frac{1}{4} + a, \frac{1}{2}\right) \in s$, con $\overrightarrow{RS} = \left(\frac{1}{4} - a - t,\ a - \frac{7}{4},\ \frac{1}{2} - t\right)$ perpendicular a las dos rectas:$$\overrightarrow{RS}\cdot\vec v_r = \frac{3}{4} - a - 2t = 0, \qquad \overrightarrow{RS}\cdot\vec v_s = 2a + t - 2 = 0$$De la primera, $a = \frac{3}{4} - 2t$; en la segunda, $\frac{3}{2} - 3t - 2 = 0$, $t = -\frac{1}{6}$ y $a = \frac{13}{12}$:$$R = \left(-\frac{1}{6},\ 2,\ -\frac{1}{6}\right), \qquad S = \left(-\frac{5}{6},\ \frac{4}{3},\ \frac{1}{2}\right), \qquad \overrightarrow{RS} = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \parallel \vec w \ ✓$$$$p \equiv (x, y, z) = \left(-\frac{1}{6},\ 2,\ -\frac{1}{6}\right) + \mu\,(1, 1, -1), \quad \mu \in \mathbb{R}$$$R$ cumple las dos ecuaciones implícitas: $-\frac{1}{6} - 4 + \frac{1}{6} + 4 = 0$ ✓ y $-\frac{1}{3} + 4 - \frac{2}{3} - 3 = 0$ ✓. De paso, la distancia entre las rectas es $|\overrightarrow{RS}| = \frac{2\sqrt{3}}{3}$, que coincide con $\frac{|\text{producto mixto}|}{|\vec w|} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.