Matemáticas IIMedio2,5 pts

Optimización

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Disponemos de 10 metros de una barra metálica. Con ella queremos construir una estructura formada por un rectángulo que está rematado por arriba por un triángulo equilátero. La base del triángulo coincide con el lado superior del rectángulo, como se observa en la figura. Para construir la estructura, se cortan 6 trozos de la barra original de longitudes adecuadas y se sueldan para obtener la forma pedida. Se pide:
Estructura formada por un rectángulo de base x rematado por un triángulo equilátero cuya base es el lado superior del rectángulo
Estructura formada por un rectángulo de base x rematado por un triángulo equilátero cuya base es el lado superior del rectángulo
a) (0,5 puntos) Si denotamos por xx la base del triángulo, calcular su altura en función de xx.

b) (2 puntos) Determinar cómo debemos cortar la barra original para que la estructura resultante encierre un área total máxima.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) h=32 x\boxed{\text{a)}\ h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x}b) 4 trozos de 80+10361≈1,595 m y 2 de 145−20361≈1,809 m\boxed{\text{b)}\ 4 \text{ trozos de } \tfrac{80 + 10\sqrt{3}}{61} \approx 1{,}595 \text{ m y } 2 \text{ de } \tfrac{145 - 20\sqrt{3}}{61} \approx 1{,}809 \text{ m}}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La altura de un triángulo equilátero sale de Pitágoras en la mitad del triángulo (hipotenusa xx, cateto x2\frac{x}{2}).

En b) llamo yy a la altura del rectángulo. Los 6 trozos son: los dos lados horizontales del rectángulo (el de arriba es a la vez la base del triángulo), los dos lados verticales y los dos lados inclinados del triángulo. Es decir, cuatro trozos de longitud xx y dos de longitud yy, y su suma es la barra: 4x+2y=104x + 2y = 10. Con esa relación el área total (rectángulo más triángulo) queda en función de xx, y se maximiza derivando.
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Desarrollo

a) En el triángulo equilátero de lado xx, la altura cae en el punto medio de la base:h=x2−(x2)2=3x24=32 xh = \sqrt{x^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3x^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,xb) Relación entre las variables. Con xx la base y yy la altura del rectángulo:4x+2y=10  ⟹  y=5−2x4x + 2y = 10 \;\Longrightarrow\; y = 5 - 2xPara que haya estructura, x>0x > 0 e y>0y > 0:   0<x<52\;0 < x < \frac{5}{2}.

Función que se maximiza. Área del rectángulo más área del triángulo:S(x)=xy+12 x⋅32x=x(5−2x)+34x2=5x−8−34 x2S(x) = xy + \frac{1}{2}\,x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}x = x(5 - 2x) + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = 5x - \frac{8 - \sqrt{3}}{4}\,x^2Derivada:S′(x)=5−8−32 x=0  ⟺  x=108−3=10(8+3)61=80+10361≈1,5954S'(x) = 5 - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\,x = 0 \iff x = \frac{10}{8 - \sqrt{3}} = \frac{10(8 + \sqrt{3})}{61} = \frac{80 + 10\sqrt{3}}{61} \approx 1{,}5954Es un máximo: S′′(x)=−8−32<0S''(x) = -\frac{8 - \sqrt{3}}{2} < 0 (la gráfica es una parábola hacia abajo), y el punto está dentro de (0,52)\left(0, \frac{5}{2}\right).

Altura del rectángulo:y=5−2x=5−160+20361=145−20361≈1,8092y = 5 - 2x = 5 - \frac{160 + 20\sqrt{3}}{61} = \frac{145 - 20\sqrt{3}}{61} \approx 1{,}8092Cómo cortar la barra: cuatro trozos de x=80+10361≈1,595x = \frac{80 + 10\sqrt{3}}{61} \approx 1{,}595 m (la base y el lado superior del rectángulo y los dos lados del triángulo) y dos trozos de y=145−20361≈1,809y = \frac{145 - 20\sqrt{3}}{61} \approx 1{,}809 m (los lados verticales).

Comprobación: 4⋅1,5954+2⋅1,8092=6,3817+3,6183=104\cdot 1{,}5954 + 2\cdot 1{,}8092 = 6{,}3817 + 3{,}6183 = 10 m ✓. El área máxima esSmaˊx=5x−8−34⋅x⋅108−3=5x−5x2=5x2=258−3=25(8+3)61≈3,99 m2S_{\text{máx}} = 5x - \frac{8 - \sqrt{3}}{4}\cdot x\cdot\frac{10}{8 - \sqrt{3}} = 5x - \frac{5x}{2} = \frac{5x}{2} = \frac{25}{8 - \sqrt{3}} = \frac{25(8 + \sqrt{3})}{61} \approx 3{,}99 \text{ m}^2
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Antes de escribir la función, cuenta bien los trozos: el lado superior del rectángulo es a la vez la base del triángulo, así que solo se corta una vez. Por eso son seis trozos y 4x+2y=104x + 2y = 10, no 5x+2y=105x + 2y = 10.

Racionalizar 108−3\frac{10}{8 - \sqrt{3}} multiplicando por el conjugado da el valor exacto; el decimal está bien como apoyo, pero el resultado exacto es lo que se espera.
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