Matrices

a) Por Sarrus,$$|B| = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2 \neq 0, \qquad |C| = 1\cdot 2\cdot 3 = 6$$Tomando determinantes en $AB = BC$:$$|A|\,|B| = |B|\,|C| \;\Longrightarrow\; 2|A| = 2\cdot 6 \;\Longrightarrow\; |A| = 6$$b) Adjuntos de $B$ (la matriz es simétrica, y sus adjuntos también):$$B_{11} = -1,\ B_{12} = 1,\ B_{13} = 1, \quad B_{21} = 1,\ B_{22} = -1,\ B_{23} = 1, \quad B_{31} = 1,\ B_{32} = 1,\ B_{33} = -1$$$$B^{-1} = \frac{1}{|B|}\operatorname{Adj}(B)^t = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$(Comprobación: la primera fila de $B$ por la primera columna de $\operatorname{Adj}(B)^t$ da $0 + 1 + 1 = 2$, y por la segunda, $0 - 1 + 1 = 0$ ✓.)

Al multiplicar $B$ por la diagonal $C$, cada columna de $B$ queda multiplicada por 1, 2 y 3:$$BC = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$$$BCB^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 2 & -1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$$Como $B$ es invertible, multiplicando $AB = BC$ por $B^{-1}$ por la derecha, esta matriz es precisamente $A$. Su determinante, $\frac{1}{8}\begin{vmatrix} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \frac{1}{8}(60 - 2 + 2 + 4 - 6 - 10) = \frac{48}{8} = 6$, coincide con el de a) ✓.

c) El sistema $BC\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ es$$\left\{\begin{array}{l} 2y + 3z = 1 \\ x + 3z = 2 \\ x + 2y = 3 \end{array}\right.$$De la segunda, $x = 2 - 3z$; en la tercera, $2 - 3z + 2y = 3$, es decir, $2y = 1 + 3z$. Llevándolo a la primera: $1 + 3z + 3z = 1$, así que $z = 0$, $y = \frac{1}{2}$ y $x = 2$.$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$$Comprobación: $2\cdot\frac{1}{2} + 0 = 1$ ✓, $2 + 0 = 2$ ✓, $2 + 1 = 3$ ✓. (Tiene solución única porque $|BC| = |B|\,|C| = 12 \neq 0$.)