Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)

Enunciado

De una bolsa con 20 fichas numeradas del 1 al 20 se extraen sucesivamente 2 fichas sin reemplazamiento. Se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3.

b) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3.

c) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sea múltiplo de 2.

d) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un número impar, sabiendo que la primera también lo ha sido.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \tfrac{3}{38} \qquad \text{b)}\ \tfrac{3}{76} \qquad \text{c)}\ \tfrac{9}{38} \qquad \text{d)}\ \tfrac{9}{19}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero cuento cuántas fichas cumplen cada condición entre 1 y 20. Como las extracciones son sin reemplazamiento, la probabilidad de la segunda depende de la primera: cada apartado es un producto

P(\text{primera})\cdot P(\text{segunda} \mid \text{primera})

, contando qué queda en la bolsa (19 fichas).

En b) la clave es que un múltiplo de 6 también es múltiplo de 3: si la primera ficha lo es, quedan cinco múltiplos de 3. El apartado d) es una probabilidad condicionada, que se puede razonar directamente (lo que queda en la bolsa) o con la fórmula

P(B \mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Desarrollo

Recuento entre 1 y 20:

múltiplos de 3: $3, 6, 9, 12, 15, 18$ → 6;
múltiplos de 6: $6, 12, 18$ → 3 (todos son también múltiplos de 3);
impares (no múltiplos de 2): 10.

P(\text{ambos múltiplos de 3}) = \frac{6}{20}\cdot\frac{5}{19} = \frac{30}{380} = \frac{3}{38} \approx 0{,}0789

b) La primera es múltiplo de 6 (3 de 20). Esa ficha es también múltiplo de 3, así que en la bolsa quedan

6 - 1 = 5

múltiplos de 3 entre 19 fichas:

P = \frac{3}{20}\cdot\frac{5}{19} = \frac{15}{380} = \frac{3}{76} \approx 0{,}0395

c) Ninguno múltiplo de 2 equivale a que los dos sean impares:

P(\text{los dos impares}) = \frac{10}{20}\cdot\frac{9}{19} = \frac{90}{380} = \frac{9}{38} \approx 0{,}2368

d) Si la primera ha sido impar, quedan 19 fichas, de las que 9 son impares:

P(\text{segunda impar} \mid \text{primera impar}) = \frac{9}{19} \approx 0{,}4737

Con la fórmula, usando c):

\dfrac{P(\text{las dos impares})}{P(\text{primera impar})} = \dfrac{9/38}{1/2} = \dfrac{9}{19}

✓.

Consejo

En las extracciones sin reemplazamiento, la segunda probabilidad se calcula con lo que queda en la bolsa: un denominador de 19, y un numerador que depende de qué salió primero.

En b) fíjate en que los sucesos se solapan: un múltiplo de 6 es múltiplo de 3, así que la primera ficha «gasta» uno de los seis múltiplos de 3. Poner $\frac{6}{19}$ es el error típico.