Matemáticas IIMedio2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos · Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Se consideran los puntos

A(0, -4, 2)

B(3, -2, 3)

C(-1, -3, 3)

. Se pide:

a) (0,75 puntos) Comprobar que el triángulo de vértices

A

B

C

es rectángulo, identificando los catetos y la hipotenusa.

b) (0,75 puntos) Determinar una ecuación del plano

\pi

que contiene a los tres puntos.

c) (1 punto) Calcular el punto simétrico de

A

respecto de la recta que pasa por los puntos

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0:\ \text{recto en } A;\ \text{catetos } AB, AC;\ \text{hipotenusa } BC}

\boxed{\text{b)}\ \pi \equiv x - 4y + 5z - 26 = 0 \qquad \text{c)}\ A' = \left(-\tfrac{10}{17},\ -\tfrac{28}{17},\ 4\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) calculo los tres vectores de los lados: el ángulo recto está en el vértice donde el producto escalar de los dos lados que salen de él es cero. Los lados de ese vértice son los catetos y el opuesto, la hipotenusa (se confirma con Pitágoras).

En b) el vector normal del plano es el producto vectorial de dos lados.

En c) el simétrico

A'

respecto de una recta se obtiene con la proyección

M

A

sobre la recta (el corte de la recta con el plano perpendicular a ella por

A

), que es el punto medio de

AA'

A' = 2M - A

Desarrollo

a) Vectores de los lados:

\overrightarrow{AB} = (3, 2, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (-1, 1, 1), \qquad \overrightarrow{BC} = (-4, -1, 0)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -3 + 2 + 1 = 0

El ángulo en el vértice

A

es recto. Los catetos son

\overline{AB}

\overline{AC}

, y la hipotenusa,

\overline{BC}

. Comprobación con Pitágoras:

|\overrightarrow{AB}|^2 = 14, \qquad |\overrightarrow{AC}|^2 = 3, \qquad |\overrightarrow{BC}|^2 = 17 = 14 + 3 \ ✓

b) Normal del plano:

\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 1,\ -1 - 3,\ 3 + 2) = (1, -4, 5)

Por

A(0, -4, 2)

\pi \equiv (x - 0) - 4(y + 4) + 5(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - 4y + 5z - 26 = 0

Comprobación:

B

3 + 8 + 15 - 26 = 0

✓;

C

-1 + 12 + 15 - 26 = 0

✓.

c) Recta por

B

C

, con dirección

\overrightarrow{CB} = (4, 1, 0)

s \equiv (x, y, z) = (3 + 4\lambda,\ -2 + \lambda,\ 3)

Plano perpendicular a

s

que pasa por

A

4x + y + D = 0

con

4\cdot 0 + (-4) + D = 0

, es decir,

4x + y + 4 = 0

. Su corte con

s

4(3 + 4\lambda) + (-2 + \lambda) + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; 14 + 17\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{14}{17}

M = \left(3 - \frac{56}{17},\ -2 - \frac{14}{17},\ 3\right) = \left(-\frac{5}{17},\ -\frac{48}{17},\ 3\right)

M

es el punto medio de

A

y su simétrico

A'

A' = 2M - A = \left(-\frac{10}{17},\ -\frac{96}{17} + 4,\ 6 - 2\right) = \left(-\frac{10}{17},\ -\frac{28}{17},\ 4\right)

Comprobación:

\overrightarrow{AM} = \left(-\frac{5}{17}, \frac{20}{17}, 1\right)

es perpendicular a

(4, 1, 0)

-\frac{20}{17} + \frac{20}{17} = 0

✓. Y

A'

está en

\pi

, como debe ser (la recta

BC

está en el plano):

-\frac{10}{17} + \frac{112}{17} + 20 - 26 = 6 - 6 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para saber dónde está el ángulo recto, prueba el producto escalar de los dos lados que salen de cada vértice; el que dé cero manda. Pitágoras sirve para confirmarlo.

El simétrico respecto de una recta siempre en dos pasos: proyección $M$ (plano perpendicular por el punto, cortado con la recta) y después $A' = 2M - A$ .