Derivadas y aplicaciones

a) Derivada:$$f'(x) = -\cos x + \bigl(\cos x - x\operatorname{sen} x\bigr) = -x\operatorname{sen} x$$En $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ son $x > 0$ y $\operatorname{sen} x > 0$, así que $f'(x) < 0$: $f$ es estrictamente decreciente en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ (en los extremos $f'$ se anula, pero eso no impide que sea estrictamente decreciente en el intervalo cerrado).

Existencia de una raíz. $f$ es continua en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ (suma y producto de funciones continuas) y$$f(0) = \frac{1}{2} - 0 + 0 = \frac{1}{2} > 0, \qquad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{\pi}{2}\cdot 0 = -\frac{1}{2} < 0$$Por el teorema de Bolzano, existe $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ con $f(c) = 0$.

Unicidad. Si hubiera dos raíces $c_1 < c_2$ en el intervalo, sería $f(c_1) = f(c_2) = 0$, imposible en una función estrictamente decreciente (tendría que ser $f(c_1) > f(c_2)$). Luego la raíz es única. (Numéricamente, $c \approx 1{,}20$.)

b) Por partes, con $u = x$, $dv = \cos x\,dx$ ($du = dx$, $v = \operatorname{sen} x$):$$\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x$$Así que una primitiva de $f$ es$$F(x) = \frac{x}{2} + \cos x + x\operatorname{sen} x + \cos x = \frac{x}{2} + 2\cos x + x\operatorname{sen} x$$(Comprobación: $F'(x) = \frac{1}{2} - 2\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x + x\cos x = f(x)$ ✓.)

Por la regla de Barrow:$$\int_0^{\pi/2} f(x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \left(\frac{\pi}{4} + 0 + \frac{\pi}{2}\right) - (0 + 2 + 0) = \frac{3\pi}{4} - 2 \approx 0{,}3562$$